📂고전역학

일-운동 에너지 정리

정의

힘 $\mathbf{F}$가 물체를 점 $\mathbf{a}$에서 $\mathbf{b}$까지 경로 $C$를 따라 이동시킬 때, 아래와 같은 경로적분을 그 힘이 한 일^work이라 한다.

$$ W = \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \tag{1} $$

설명

위 적분은 이동거리-힘 그래프를 그렸을 때, 그래프의 면적과 같다. 내적으로 정의되는 이유는, 실제로 물체가 이동한 방향으로 기여한 힘만을 셈하기 위함이다. 만약 힘이 일정하고(크기와 방향이 변하지 않음), 물체가 직선운동하면 $(1)$은 간단히 아래와 같다. 변위벡터 $\mathbf{s} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$에 대해,

$$ W= \mathbf{F} \cdot \mathbf{s} $$

단위

SI 단위계에서 일의 단위는 에너지와 같은 줄^joule이다.

$$ 1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N} \cdot \mathrm{m} = 1\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}^{2} $$

참고로 줄의 단위는 사람이름에서 따왔기 때문에 대문자로 $\mathrm{J}$이라 쓰지만, 단위로서의 줄을 지칭할 때는 joule과 같이 소문자로 적는다.

일-운동 에너지 정리¹

알짜힘이 물체에 해준 일은 운동에너지의 변화량과 같다.

$$ W=\Delta T $$

증명

사실은 증명이라고 할 수 없는게, 일의 정의로부터 다음의 식이 유도되고, 이로부터 운동에너지를 정의한 것이다.

$$ W_{\mathbf{a}\mathbf{b}} = \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \dfrac{1}{2} m v_{\mathbf{b}}^{2} - \dfrac{1}{2} m v_{\mathbf{a}}^{2} $$

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