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케플러 제3 법칙 조화 법칙

케플러 제3 법칙: 조화 법칙

행성의 공전 주기의 제곱은 공전 궤도의 장반경의 세제곱에 비례한다.

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케플러의 행성 운동 법칙 중 세번째 법칙이다. 행성의 공전 궤도를 원으로 근사할 경우 ‘공전 주기의 제곱은 태양과의 거리의 세제곱에 비례한다’가 된다.

증명¹

행성의 공전 궤도의 넓이를 $A$, 면적 속도를 $\dot {A}$라고 하자. 케플러 제2 법칙으로부터 면적 속도 는 아래와 같이 일정한 상수임을 알수 있다.

$$ \begin{equation} \dot{A}=\frac{L}{2m}=\frac{l}{2}=\text{constant} \label{eq1} \end{equation} $$

$l=\frac{L}{m}$은 단위 질량당 각운동량이다. 주기는 행성이 한 바퀴 도는데 걸리는 시간이다. 이를 $\tau$로 표시하자. 그러면 면적속도, 주기의 정의와 $\eqref{eq1}$에 의해 아래의 식이 성립한다.

$$ A=\int_{0}^{\tau}\dot{A}dt=\frac{l\tau}{2} $$

따라서 다음와 같다.

$$ \tau=\frac{2A}{l} $$

그런데 타원의 넓이는 $ab\pi$임이 잘 알려져있다. 그러므로 주기는 아래와 같다.

$$ \tau = \frac{2ab\pi}{l} $$

이제 아래 그림을 보자.

타원의 장반경, 단반경, 이심률은 식 $b=a\sqrt{1-\epsilon^{2}}$를 만족한다. 주기에 대입하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \tau = \frac{2\pi a^{2}\sqrt{1-\epsilon^{2}}}{l} $$

위 식의 양 변을 제곱하면 아래와 같다.

$$ \tau ^{2} = \frac{4\pi^{2}a^{4}}{l^{2}}(1-\epsilon^{2}) $$

이때 타원의 통경은 $\alpha=a(1-\epsilon^{2})$이므로 위 식은 다시 아래와 같다

$$ \tau^{2} = \frac{4 \pi^{2}\alpha}{l^{2}}a^{3} $$

또한 태양의 중력에 의해 움직이는 행성의 궤도는 통경이 $\alpha=\frac{l^{2}}{GM}$이므로 다음과 같다.

$$ \tau ^{2} = \frac{4\pi^{2}}{GM}a^{3} $$ 여기서 $G$는 중력상수, $M$은 태양의 질량이다. 보면 알겠지만 앞의 비례 상수인 $\frac{4\pi^{2}}{GM}$은 태양의 중력에 의해 태양 주위를 도는 모든 물체에게 동일하게 적용된다.

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