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케플러 제1 법칙 타원 궤도의 법칙

케플러 제1 법칙: 타원 궤도의 법칙

행성의 공전 궤도는 태양을 초첨으로하는 타원이다.

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케플러의 행성 운동 법칙 중 첫번째 법칙이다.

증명¹

중심력 $F$에 의해 운동하는 입자의 궤도 방정식은 아래와 같다.

$$ \frac{ d ^{2}u}{ d \theta^{2} } + u=-\frac{1}{ml^{2}u^{2}}F(u^{-1}) $$

이때 $u={\textstyle \frac{1}{r}}$이다. 우리는 중력에 대해서 위 문제를 풀고 싶으므로 $F=-\frac{GMm}{r^{2}}=-\frac{k}{r^{2}}$라고 하자. $M$은 중심력을 주는 물체의 질량(구체적으로 여기서는 태양의 질량을 의미한다), $m$은 운동하는 물체의 질량이다. 그러면 궤도 방정식은 다음과 같다.

$$ \frac{ d ^{2}u}{ d \theta^{2} }+u=\frac{k}{ml^{2}} $$

위 미분 방정식의 해는 아래와 같다.

$$ u=A\cos\theta+\frac{k}{ml^{2}} $$

이때 $A$는 상수이다. 위 식을 다시 $r$에 대해서 정리하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \begin{align*} r=\frac{1}{u}&=\frac{1}{k/ml^{2}+A\cos\theta} \\ &= \frac{ml^{2}/k }{1+(Aml^{2}/k)\cos\theta} \end{align*} $$

위 식은 초점을 원점으로 둔 타원의 방정식을 극좌표로 나타낸 것과 같다. 실제로 통경이 $\alpha$, 이심률이 $\epsilon$인 타원의 극좌표계에서의 방정식은 아래와 같다.

$$ r=\frac{\alpha}{1+\epsilon \cos\theta } $$

따라서 중력에 의해 태양 주위를 공전하는 행성의 궤도는 태양이 초점, 통경이 $\alpha=\frac{ml^{2}}{k}=\frac{l^{2}}{GM}$, 이심률이 $\epsilon=\frac{Aml^{2}}{k}=\frac{Al^{2}}{GM}$인 타원이다.

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