📂함수

리만 함수 방정식과 리만 제타 함수의 자명근

공식

다음을 리만 함수 방정식이라 한다. $$\zeta (s) = 2^{s} \pi^{s - 1} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \Gamma (1-s) \zeta (1-s)$$

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• $\Gamma$ 는 감마 함수다.
• $\zeta$ 는 리만 제타 함수다.

설명

리만 함수 방정식에서 $s \in 2 \mathbb{Z}$ 이면 $\displaystyle \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) = 0$ 이므로 당연히 $\zeta (s) = 0$ 일 것 같다. 그러나 $s = 0$ 일 때는 우변에 $\zeta (1 - 0)$ 이 나오기 때문에 근이고 뭐고 아예 정의가 되지 않으며, $s > 0$ 일 때는

감마함수의 단순극: 복소함수로써의 감마함수 $\Gamma$ 의 정의역은 다음과 같다. $$\mathbb{C} \setminus \left( \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \right) = \mathbb{C} \setminus \left\{ 0 , -1, -2, \cdots \right\}$$ 그 뿐만 아니라, $\Gamma$ 의 특이점의 집합 $\left( \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \right)$ 은 단순극의 집합이다. $$\Gamma (1-z) = {\frac{ \pi }{ \Gamma (z) \sin \pi z }}$$

에 따라 $\Gamma (1-s)$ 의 심플 폴 $\displaystyle {\frac{ 1 }{ \sin \pi s }}$ 이 사인 항 $\displaystyle \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right)$ 을 캔슬해서 근이 되지 못한다. 따라서 남은 음의 짝수 $s \in - 2\mathbb{N}$ 모두가 $\zeta$ 의 근이 되는데, 이를 리만 제타 함수의 자명근^{trivial Root of Riemann zeta function}이라고 부른다. 그 이름도 유명한 리만 가설은 이 자명근들을 제외한 비자명근들에 대한 가설이다.

유도¹

리만 자이 함수의 정의와 대칭성: 다음과 같이 정의된 함수 $\xi$ 를 리만 자이 함수라고 한다. $$\xi (s) := {{ 1 } \over { 2 }} s ( s-1) \pi^{-s/2} \zeta (s) \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right)$$ $$\xi ( 1 - s) = \xi (s)$$

대칭성에 따라 $$\pi^{-s/2} \Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) \zeta (s) = \pi^{-1/2 + s/2} \Gamma \left( {{ 1 } \over { 2 }} - {{ s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s)$$ 양변에 $\pi^{s/2}$ 를 곱하면 $$\Gamma \left( {{ s } \over { 2 }} \right) \zeta (s) = \pi^{-1/2 + s} \Gamma \left( {{ 1 } \over { 2 }} - {{ s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s)$$

오일러 반사 공식: $$\Gamma (p) \Gamma (1-p) = {{ \pi } \over { \sin (\pi p) }}$$

오일러 반사 공식에서 $\displaystyle p = s/2$ 라 두면 $$\Gamma (s/2) \Gamma (1-s/2) = {{ \pi } \over { \sin (\pi s/2) }}$$ 이므로 $$\begin{align*} \zeta (s) =& \pi^{-1/2 + s} \Gamma \left( {{ 1 } \over { 2 }} - {{ s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s) {{ 1 } \over { \pi }} \Gamma (1-s/2) \sin (\pi s / 2) & \\ =& \pi^{-3/2 + s} \Gamma \left( {{ 1 - s } \over { 2 }} \right) \Gamma \left( 1 - {{ s } \over { 2 }} \right) \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s) & \cdots (\ast) \end{align*}$$

르장드르 배 공식: $$\Gamma (2r) = {{2^{2r-1} } \over { \sqrt{ \pi } } } \Gamma \left( r \right) \Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right)$$

르장드르 배 공식에서 $\displaystyle r= {{ 1-s } \over { 2 }}$ 라 두면 $$\Gamma (1-s) = 2^{-s} \pi^{-1/2} \Gamma \left( {{ 1-s } \over { 2 }} \right) \Gamma \left( 1- {{ s } \over { 2 }} \right)$$ 이므로 $(\ast)$ 에 대입하면 $$\begin{align*} \zeta (s) =& \pi^{-3/2 + s} \Gamma \left( {{ 1 - s } \over { 2 }} \right) \Gamma \left( 1 - {{ s } \over { 2 }} \right) \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s) \\ =& \pi^{-3/2 + s} 2^{s} \pi^{+1/2} \Gamma ( 1-s) \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \zeta (1-s) \\ =& 2^{s} \pi^{s-1} \sin \left( {{ \pi s } \over { 2 }} \right) \Gamma ( 1-s) \zeta (1-s) \end{align*}$$

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