📂푸리에해석

웨이블릿이의 정의

정의

$\psi \in L^{2}(\mathbb{R})$이라고 하자. $\psi$가 아래의 두 조건을 만족시킬 때 함수 $\psi$를 웨이블릿^wavelet이라 한다.

(a) 정수 $j,k \in \mathbb{Z}$에 대해서, $\psi_{j,k}$를 아래와 같이 정의한다.

$$ \psi_{j,k} (x):=2^{\frac{j}{2}}\psi (2^{j}x-k),\quad x\in \mathbb{R} $$

(b) $\left\{ \psi _{j,k}\right\}_{j,k\in \mathbb{Z}}$가 $L^{2}(\mathbb{R})$공간의 정규직교 기저이다.

$\psi_{j,k}$를 다일레이션 D와 트랜슬레이션 $T_{k}$로 다음과 같이 표혈할 수도 있다.

$$ \psi_{j,k}=D^{j}T_{k}\psi,\quad j,k\in\mathbb{Z} $$

설명

웨이블릿 이론은 정규직교기저를 찾는 방법에 대한 이론으로 데이터를 효과적으로 압축할 수 있는 이론적 근거를 제공해주며, 데이터에서 잡음을 제거하여 필요한 신호를 찾을 수 있게 해준다. 따라서 웨이블릿은 신호처리, 영상처리, 물리학, 화학, 지리통계학, 해양학, 기상학, 의학, 재무관리 등 굉장히 넓은 분야에서 이용되고 있다. 웨이블릿 해석에 대한 연구는 1980년 중반 프랑스에서부터 시작되었다. 마찬가지로 널리 쓰이는 푸리에 해석이 18~19세기부터 연구되어왔던 것과 비교하면 최근에서야 연구가 시작됐다고 말할 수 있다.¹