그린의 정리 증명
정리1
곡선 $\mathcal{C}$ 가 평면 상의 영역 $S = [a,b] \times [c,d]$ 안에서 시계반대방향을 가지고 조각마다 스무스한 단순 폐경로라고 하자. 함수 $P,Q : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 이 $\mathcal{C}$ 에서 연속이고 그 도함수도 연속이면
$$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{S} (Q_{x} - P_{y}) dx dy $$
설명
경로적분을 면적분으로 바꿔주는 정리로 생각하면 될 것 같다. 케빈-스톡스 정리에서 평면에 국한시킨 따름정리로도 많이 알려져있다. 더 일반화된 정리가 있음에도 불구하고 이름이 남은만큼 여러곳에서 입지를 잃지 않고 있는 정리다.
증명
$$ I_{1} := \int_{\mathcal{C}} P dx \\ \displaystyle I_{2} := \int_{\mathcal{C}} Q dy $$ 라고 하면 $$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = I_{1} + I_{2} $$ 이다. 먼저 $I_{1}$부터 구해보자.
$I_{1}$ 을 계산하는 영역은 위와 같이 나타날 것이다. 이때 $\mathcal{C}$ 를 감싸는 영역은 $$ S = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R} \ | \ a \le x \le b, y_{1}(x) \le y \le y_{2}(x) \right\} $$ 이므로 $$ \begin{align*} I_{1} =& \int_{\mathcal{C}} Pdx \\ =& \int_{a}^{b} P(x,y_{1} (x))dx + \int_{b}^{a} P(x,y_{2} (x)) dx \\ =& - \int_{a}^{b} \left\{ P(x,y_{2} (x))-P(x,y_{1} (x)) \right\} dx \\ =& - \int_{a}^{b} \int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)} {{\partial P(x,y)} \over {\partial y}} dy dx \\ =& - \iint_{S} P_{y} dy dx \end{align*} $$ 이제 $I_{2}$를 구해보자. 보통 이런 증명에선 ‘위와 같은 방법으로 구할 수 있다’로 끝내지만 그린의 정리는 따로 직접 구해야한다. 방식은 비슷하지만 결과적으로 부호가 반대반향이기 때문에 반드시 확인하도록 하자.
$I_{2}$ 를 계산하는 영역은 위와 같이 나타날 것이다. 이때 $\mathcal{C}$ 를 감싸는 영역은 $$ S = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \ | \ c \le y \le d, x_{1}(y) \le x \le x_{2}(y) \right\} $$ 이므로 $$ \begin{align*} I_{2} =& \int_{\mathcal{C}} Qdy \\ =& \int_{d}^{c} Q(x_{1}(y),y) dy + \int_{c}^{d} Q(x_{2}(y),y) dy \\ =& \int_{c}^{d} Q(x_{2}(y),y) dy - \int_{c}^{d} Q(x_{1}(y),y) dy \\ =& \int_{c}^{d} \left\{ Q(x_{2}(y),y) dy - Q(x_{1}(y),y) \right\} dy \\ =& \int_{c}^{d} \int_{x_{1}(x)}^{x_{2}(x)} {{\partial Q(x,y)} \over {\partial x}} dx dy \\ =& \iint_{S} Q_{x} dx dy \end{align*} $$ $I_{2}$ 와 $I_{1}$ 의 결과를 더하면 $$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = I_{2} + I_{1} = \iint_{S} Q_{x} dx dy - \iint_{S} P_{y} dy dx $$
푸비니의 정리: $R : [a,b] \times [c,d]$ 이라고 하자. $f(x,\cdot)$ 가 $[c,d]$ 에서, $f(\cdot,y)$ 가 $[a,b]$ 에서, $f$ 가 $R$ 에서 적분가능하면 $$ \iint _{R} f dA = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) dy dx = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) dx dy $$
전제 조건에서 $P$ 의 도함수 $P_{y}$ 역시 연속이라 했으므로 적분가능하고, 푸비니의 정리를 적용할 수 있다. 다음과 같이 적분순서를 바꾸면 $$ \iint_{S} P_{y} dy dx = \iint_{S} P_{y} dx dy $$ 이고, 적분 순서를 $dx dy$ 로 통일하면 $$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{S} ( Q_{x} - P_{y} ) dx dy $$
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위에서는 직사각형 $S$ 에 대해서 보였으나 이를 작은 정사각형 $[\alpha, \alpha + \varepsilon] \times [\beta, \beta + \varepsilon]$ 에 대한 증명으로 특수화하고 일반적인 유계 영역 $\mathcal{R}$ 을 한 변의 길이가 $\varepsilon$ 인 작은 정사각형들로 쪼갠 후 $\varepsilon \to 0$ 로 극한을 취하면 다음과 같은 일반화된 정리를 간단하게 얻을 수 있다.
조건이나 표현은 조금 다르지만 본질적으로 크게 다르지 않다. 일반화에 의미를 두기보다는 교재마다 다른 정도로 받아들이고 넘어가면 된다.
일반화 1
반시계방향을 가지고 조각마다 스무스한 단순 평면 $C^{2}$ 닫힌 곡선 $\mathcal{C}$ 가 유계 영역 $\mathcal{R}$ 을 감싸고 있다고 하자.
$\mathcal{R}$ 에서 정의된 두 함수 $P,Q$ 가 $\mathcal{R}$ 에서 미분가능하면 $$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{\mathcal{R}} (Q_{x} - P_{y}) dx dy $$
- $C^{2}$ 곡선은 두 번 미분가능하고 그 도함수들이 모두 미분가능한 곡선이다.