📂상미분방정식

1계 선형 미분 방정식 시스템

빌드업¹

질량이 $m$, 감쇠인자가 $\gamma$, 용수철 상수가 $k$일 때, 스프링에 매달린 물체의 진동을 나타내는 운동 방정식은 아래와 같다.

$$m x^{\prime \prime} + \gamma x^{\prime} + kx = F$$

$x_{1}=x$, $x_{2}=x_{1}^{\prime}$라고 두면 위의 운동 방정식을 아래와 같은 시스템으로 표현할 수 있다.

$$\begin{align*} x_{1}^{\prime}(t) =&\ x_{2}(t) \\ x_{2}^{\prime} (t) =&\ x_{1}^{\prime \prime}(t) = -\dfrac{\gamma}{m}x_{2}(t)-\dfrac{k}{m}x_{1}(t)-\dfrac{1}{m}F(t) \end{align*}$$

이를 아래와 같이 행렬로 나타낼 수 있다.

$$\begin{align*} && \begin{pmatrix}x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime}\end{pmatrix} =&\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\dfrac{k}{m} & -\dfrac{\gamma}{m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -\dfrac{1}{m}F \end{pmatrix} \\ \implies&& \mathbf{x}^{\prime}(t) =&\ A\mathbf{x}(t)+g(t) \end{align*}$$

$g(t)=0$인 동차 방정식의 경우 2계 미분 방정식의 풀이가 $\mathbf{x}^{\prime}=A\mathbf{x}$인 행렬곱을 풀어내는 문제로 단순해지는 것을 알 수 있다.

일반화

$x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$을 $t$에 대한 함수라고 하자. $F_{1}$, $F_{2}$, $\cdots$, $F_{n}$을 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$에 대한 함수라고 하자. 그러면 $x_{i}(t),$ $1\le i \le n$에 대한 1계 미분 방정식 시스템^{system of first-order differential equations} 은 아래와 같다.

$$\begin{align*} x_{1}^{\prime}(t) =&\ F_{1}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \\ x_{2}^{\prime}(t) =&\ F_{2}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \\ \vdots & \\ x_{n}^{\prime}(t) =&\ F_{n}(t,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) \end{align*} \tag{1}$$

이 때 각각의 $F_{i}$가 선형이면 선형^linear 시스템 이라 부르고 그렇지 않으면 비선형^nonlinear 시스템이라 부른다. 1계 선형 미분 방정식 시스템의 더 일반적인 꼴은 아래와 같다.

$$\begin{align*} x_{1}^{\prime}(t) =&\ p_{11}(t)x_{1}(t)+\cdots p_{1n}(t)x_{n}(t) + g_{1}(t) \\ x_{2}^{\prime}(t) =&\ p_{21}(t)x_{1}(t)+\cdots p_{2n}(t)x_{n}(t) + g_{2}(t) \\ \vdots & \\ x_{n}^{\prime}(t) =&\ p_{n1}(t)x_{1}(t)+\cdots p_{nn}(t)x_{n}(t) + g_{n}(t) \end{align*}$$

$$\mathbf{x}^{\prime}(t) = \mathbf{P}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{g}(t)$$

이때 $\mathbf{x}$, $\mathbf{g}$는 벡터값 함수, $\mathbf{P}$는 행렬 함수이다. 각각의 $g_{i}(t)$가 $0$이면 동차^homogeneous 시스템, 그렇지 않으면 비동차^{nonhomogeneous} 시스템이라 부른다.

솔루션

인터벌 $I : \alpha \lt t \lt \beta$ 위의 ODE 시스템 $(1)$의 솔루션은 인터벌 $I$ 위의 각 점에서 미분가능한 $n$개의 함수이다.

$$x_{1} = \phi_{1}(t),\quad x_{2} = \phi_{2}(t),\quad \dots,\quad x_{n} = \phi_{n}(t)$$

초기조건

고정된 $t_{0} \in I$와 $x_{i}^{0}$들에 대해서, 다음과 같은 $n$개의 조건을 초기 조건^{initial conditions}이라 한다.

$$x_{1}(t_{0}) = x_{1}^{0},\quad x_{2}(t_{0}) = x_{2}^{0},\quad \cdots,\quad x_{n}(t_{0}) = x_{n}^{0} \tag{2}$$

ODE 시스템 $(1)$과 초기 조건 $(2)$를 묶어 초기값 문제^{initial value problem}라 하고, 흔히 IVP로 줄여 부른다. '초기값 문제의 솔루션을 찾는 것'을 '초기값 문제를 푼다'고 한다. 초기값 문제의 솔루션은 피카드 정리에 의해 그 존재성과 유일성이 보장된다.