라게르 미분 방정식의 급수해 풀이
정의
다음의 미분방정식을 라게르Laguerre 미분방정식이라 한다.
$$ xy^{\prime \prime}+(1-x)y^{\prime}+ny=0,\quad n=0,1,2,\cdots $$
설명
라게르 미분방정식의 해를 라게르 다항함수라 하며, 처음 몇 개의 라게르 다항식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} L_{0}(x) &= 1 \\ L_{1}(x) &= -x+1 \\ L_{2}(x) &= \frac{1}{2}\left( x^{2}-4x+2 \right) \\ L_{3}(x) &= \frac{1}{6}\left( -x^{3}+9x^{2}-18x+6 \right) \\ \vdots & \end{align*} $$
방정식을 풀기위해 식을 살퍄보면, $x=0$일 때 $y^{\prime \prime}$의 계수인 $P(x)=x$가 $0$이므로 $x=0$은 특이점이고, 아래의 식을 만족하므로 $x=0$은 정칙 특이점이다.
$$ \lim \limits_{x\rightarrow 0} x \frac{1-x}{x}=1<\infty,\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{2}\frac{n}{x}=0 < \infty $$
따라서 프로베니우스 메소드를 사용한다.
풀이
$$ xy^{\prime \prime}+(1-x)y^{\prime}+\lambda y=0 $$
위와 같은 라게르 미분방정식의 해를 아래와 같은 급수라고 가정하자.
$$ y= \sum \limits _{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+r} $$
미분 방정식에 대입하기 위해 $y^{\prime}$, $y^{\prime \prime}$를 구하면 각각 아래와 같다.
$$ \begin{align*} y^{\prime} &= \sum \limits _{n=0}^{\infty} (n+r)a_{n}x^{n+r-1} \\ y^{\prime \prime}&= \sum \limits _{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-2} \end{align*} $$
이를 미분 방정식에 대입하면 $$ \sum \limits _{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-1}+ \sum \limits _{n=0}^{\infty} (n+r)a_{n}x^{n+r-1} - \sum \limits _{n=0}^{\infty} (n+r)a_{n}x^{n+r} +\lambda \sum \limits _{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+r}=0 $$
$x$의 차수를 $n+r$로 맞춰주기 위해 첫 두 급수의 인덱스를 바꿔주면 아래와 같다.
$$ \sum \limits _{n=-1}^{\infty}(n+r+1)(n+r)a_{n+1}x^{n+r}+ \sum \limits _{n=-1}^{\infty} (n+r+1)a_{n+1}x^{n+r} - \sum \limits _{n=0}^{\infty} (n+r)a_{n}x^{n+r} +\lambda \sum \limits _{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+r}=0 $$
이제 $n=-1$인 항을 밖으로 빼주고 급수를 하나로 묶어주면
$$ r(r-1)a_{0}+ra_{0}+\sum \limits _{n=0}^{\infty} \left[ (n+r+1)(n+r)a_{n+1}+(n+r+1)a_{n+1}-(n+r)a_{n}+\lambda a_{n} \right]x^{n+r}=0 $$
위 식이 성립하려면 모든 항의 계수가 $0$이어야 하므로 아래와 같은 조건을 얻는다.
$$ \begin{align*} && r(r-1)a_{0}+ra_{0} &= 0 \\ \implies && r^{2}a_{0} &= 0 \\ \implies && r &= 0 \end{align*} $$
급수 안의 계수도 $0$이어야 하므로 $r=0$를 대입하면 아래와 같은 재귀식을 얻는다.
$$ \begin{align*} && (n+1)na_{n+1}+(n+1)a_{n+1}-na_{n}+\lambda a_{n} &= 0 \\ \implies && (n+1)^{2}a_{n+1} &= (n-\lambda)a_{n} \\ \implies && a_{n+1} &= \frac{n-\lambda}{(n+1)^{2}}a_{n} \end{align*} $$
따라서 $n=1$이상의 계수들은 모두 $a_{0}$으로 나타낼 수 있다. 차례대로 구해보면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} a_{1} &= -\lambda a_{0} \\ a_{2} &= \frac{1-\lambda}{2^{2}}a_{1}=\frac{\lambda (\lambda - 1)}{2^{2}}a_{0} \\ a_{3} &= \frac{2-\lambda}{3^{2}}a_{2}=-\frac{\lambda (\lambda-1)(\lambda-2)}{3^{2}\cdot2^{2}}a_{0} \\ \vdots & \\ a_{n} &= (-1)^{n}\frac{\lambda (\lambda -1)\cdots (\lambda-n+2)(\lambda-n+1)}{n^{2}(n-1)^{2}\cdots 2^{2}}a_{0} \end{align*} $$
따라서 미분방정식의 해는 아래와 같은 급수로 표현된다.
$$ y= a_{0}\left[ 1-\lambda x +\frac{\lambda (\lambda-1)}{4}x^{2} -\frac{\lambda (\lambda-1)(\lambda-2)}{36}x^{3}+\cdots\right] $$
이때 상수 $\lambda$가 음이 아닌 정수라면 급수해가 유한한 항을 가지는 다항식이 됨을 알 수 있다. 우리는 발산하지 않는 해를 찾는 것이 목표이므로 음이 아닌 $\lambda$에 대한 라게르 미분 방정식의 해를 $L_{\lambda}(x)$로 나타내자. 그러면 각각의 $\lambda$에 대한 해는 다음과 같다.
$$ \begin{align*} L_{1}(x) &= a_{0} \\ L_{1}(x) &= a_{0}(1-x) \\ L_{2}(x) &= a_{0}\left( 1-2x + \frac{1}{2}x^{2} \right) \\ L_{3}(x) &= a_{0} \left( 1-3x+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{6}x^{3}\right) \\ \vdots & \end{align*} $$
$a_{0}$를 $1$로 두고 최고차항의 계수가 $\pm 1$이 되도록 정리하면
$$ \begin{align*} L_{1}(x) &= 1 \\ L_{1}(x) &= -x+1 \\ L_{2}(x) &= \frac{1}{2}\left( x^{2}-4x+2 \right) \\ L_{3}(x) &= \frac{1}{6}\left( -x^{3}+9x^{2}-18x+6 \right) \\ \vdots & \end{align*} $$
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