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멱급수의 적분 📂해석개론

멱급수의 적분

정리

멱급수 ∑n=0∞cnxn\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n}이 ∣x∣<R\left| x \right| \lt R에서 수렴한다고 하자. 그리고 함수 ff를 다음과 같이 정의하자.

f(x)=∑n=0∞cnxn∣x∣<R(1) f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n} \qquad \left| x \right| \lt R \tag{1}

그러면 함수 ff는 (−R,R)(-R, R)에서 적분가능하고, 그 부정적분은 다음과 같다.

∫f(x)dx=C+∑n=0∞cnn+1xn+1∣x∣<R(2) \int f(x) dx = C + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n + 1} x^{n+1} \qquad \left| x \right| \lt R \tag{2}

또한 ff와 ∫f\displaystyle \int f의 수렴반경은 같다.

설명

(2)(2)는 마치 (1)(1)의 무한한 항을 항별로 적분한 것과 같은 결과를 준다. 즉 멱급수를 미분할 때 다항함수를 적분하는 것처럼 해도 된다는 말이다.

∫[∑n=0∞cnxn]dx=∑n=0∞∫cnxndx \int \left[ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n} \right] dx = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \int c_{n}x^{n} dx

주의해야 할 것은 ∫f\displaystyle \int f의 수렴반경이 ff와 같다는 것이다. 이는 ff와 ∫f\displaystyle \int f의 수렴구간이 같다는 뜻은 아니며, 구간의 끝 점에서는 수렴성이 달라질 수 있다.

증명

균등수렴과 적분가능성

구간 [a,b][a, b]에서 적분가능한 함수들의 수열 {fn:fn is integrable on [a,b]}\left\{ f_{n} : f_{n} \text{ is integrable on } [a, b] \right\}이 [a,b][a, b]에서 ff로 균등 수렴한다고 하자. 그러면 ff도 [a,b][a, b]에서 적분가능하고 다음이 성립한다.

∫abf(x)dx=∫ablim⁡n→∞fn(x)dx=lim⁡n→∞∫abfn(x)dx \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx

fN(x)=∑n=0Ncnxnf_{N}(x) = \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}x^{n}이라 하자. 그러면 fNf_{N}은 [a,b]⊂(−R,R)[a, b] \subset (-R, R)에서 ff로 균등수렴한다. 따라서 위의 보조정리에 의해서 다음이 성립한다. ∣x∣<R \left| x \right| \lt R에서,

∫f(x)dx=∫lim⁡n→∞∑n=0Ncnxndx=lim⁡N→∞∫∑n=0Ncnxndx=C+lim⁡n→∞∑n=0Ncnn+1xn+1=C+∑n=0∞cnn+1xn+1 \begin{align*} \int f(x) dx = \int \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}x^{n} dx &= \lim\limits_{N \to \infty} \int \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}x^{n} dx \\ &= C + \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^{N} \dfrac{c_{n}}{n + 1} x^{n+1} \\ &= C + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n + 1} x^{n+1} \end{align*}

또한 lim⁡n→∞1nn=1\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1이므로,

lim sup⁡n→∞∣cn∣nn=lim sup⁡n→∞∣cn∣n \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{|c_{n}|}{n}} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|}

따라서 급수 ∑n=0∞cnn+1(x−a)n+1\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n + 1} (x-a)^{n+1}의 수렴반경은 ff와 같다.

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