📂르벡공간

L2 공간에서 트랜슬레이션, 모듈레이션, 다일레이션의 교환관계

정리¹

모든 $a, b \in \mathbb{R}$ 과 $c > 0$ 에 대해 $T_{a}, E_{b}, D_{c}$ 는 다음과 같은 관계를 가진다.

$$ \begin{equation} (T_{a} E_{b} f ) (x) = e^{- 2 \pi i b a} (E_{b} T_{a} f ) (x) \end{equation} $$

$$ \begin{equation} (T_{a} D_{c} f ) (x) = (D_{c} T_{a/c} f ) (x) \end{equation} $$

$$ \begin{equation} (D_{c} E_{b} f ) (x) = (E_{b/c} D_{c} f ) (x) \end{equation} $$

이때 $T_{a}, E_{b}, D_{c}$ 는 각각 $L^{2}$ 에서 정의된 트랜슬레이션, 모듈레이션, 다일레이션이다.

증명

(1)

$$ \begin{align*} (T_{a} E_{b} f ) (x) =& T_{a} \left( e^{2 \pi i b x} f(x) \right) \\ =& e^{2 \pi i b (x-a)} f(x-a) \\ =& e^{2 \pi i b (-a)} e^{2 \pi i b x} f(x-a) \\ =& e^{- 2 \pi i b a} (E_{b} T_{a} f ) (x) \end{align*} $$

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(2)

$$ \begin{align*} (T_{a} D_{c} f ) (x) =& T_{a} \left( {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} f \left( {{ x } \over { c }} \right) \right) \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} f \left( {{ x-a } \over { c }} \right) \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} (T_{a/c} f) \left( {{ x } \over { c }} \right) \\ =& (D_{c} T_{a/c} f ) (x) \end{align*} $$

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(3)

$$ \begin{align*} (D_{c} E_{b} f ) (x) =& D_{c} \left( e^{2 \pi i b x } f (x) \right) \\ =& {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} e^{ 2 \pi i b x/c } f \left( {{ x } \over { c }} \right) \\ =& e^{ 2 \pi i (b/c) x } {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} f \left( {{ x } \over { c }} \right) \\ =& e^{ 2 \pi i (b/c) x } (D_{c} f)(x) \\ =& (E_{b/c} D_{c} f)(x) \end{align*} $$

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