양자역학에서 파동함수와 힐베르트 공간
빌드업
고전 역학에서 주된 관심사는 주어진 조건에서 뉴턴 제2 법칙 $\mathbf{F} = m \mathbf{a}$를 만족하는 위치 함수 $\mathbf{r}(t)$를 찾는 일이다. 가령 2차원 공간에서 초기속도 $\mathbf{v}_{0} = (v_{0}\cos\theta, v_{0}\sin\theta)$로 발사된 물체의 시간에 따른 위치는 다음의 연립 방정식을 풀어 구할 수 있고, 이를 포물선 운동이라 한다.
$$ \begin{align*} m \dfrac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}} &= -mg\hat{\mathbf{y}} \\ \mathbf{v}(0) &= (v_{0}\cos\theta, v_{0}\sin\theta) \end{align*} $$
위 식을 풀면 물체의 위치를 나타내는 함수가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.
$$ \mathbf{r}(t) = -\dfrac{1}{2}gt^{2}\hat{\mathbf{y}} + t \mathbf{v}_{0} $$
위치를 알면 속도 $\mathbf{v} = \dfrac{d\mathbf{r}}{dt}$를 알 수 있고, 속도를 알면 운동량 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$과 운동 에너지 $T = \dfrac{1}{2}mv^{2}$를 알 수 있다. 즉 $\mathbf{r}(t)$를 구하는 것이 중요한 이유는 이로부터 물체에 대한 물리적인 정보들을 알 수 있기 때문이다.
이와 비슷하게 양자 역학에서 관심을 갖는 것은 입자의 파동 함수이다. 물체의 운동을 분석하기 위해 고전역학에서 뉴턴 제2 법칙의 해를 구한다면, 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식의 해를 구한다. 이 함수가 물체에 대한 물리적인 정보를 담고 있기 떄문이다.
정의
다음과 같은 슈뢰딩거 방정식의 해solution를 파동 함수wave function라 한다.
$$ \begin{align*} \i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t} &= \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial ^{2} }{\partial x^{2} }+V\right)\psi & (\text{1-dim}) \\[1em] \i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t} &= \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi & (\text{3-dim}) \end{align*} $$
이때 $\hbar$는 플랑크상수, $V$는 퍼텐셜 $\nabla^{2}$는 라플라시안이다.
설명
파동함수의 표기로 주로 쓰이는 표기법들은 다음과 같다.
$$ \Psi(x, t),\quad \psi(x, t),\quad \phi(x, t),\quad u(x) $$
생새우초밥집에서는 위치와 시간에 대한 파동함수를 $\psi (x,t)$로 표기하고, 시간에 무관하고 위치에 대한 파동 함수는 $u(x)$로 표기한다. 퍼텐셜이 없는 경우, 즉 자유입자free particle의 파동함수는 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \psi(x, t) &= e^{\i (kx - \omega t)} = e^{\i (px - Et)/\hbar} & (\text{1-dim}) \\ \psi(\mathbf{r}, t) &= e^{\i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r} - \omega t)} = e^{\i (\mathbf{p}\cdot \mathbf{r} - Et)\hbar} & (\text{3-dim}) \end{align*} $$
위의 슈뢰딩거 방정식에서 $V = 0$으로 두고 $\psi$를 대입해보면 식이 성립한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.
$$ {-} \dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi = - \dfrac{\hbar^{2}}{2m} \dfrac{(\i p)^{2}}{\hbar^{2}} \psi = \dfrac{p^{2}}{2m}\psi = E\psi $$
$$ \i \hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial } = \i \hbar \dfrac{(\i E)^{2}}{\hbar^{2}} \psi = E\psi $$
해석
위에서 파동함수가 물체에 대한 물리적인 정보를 담고 있다고 했는데, 이는 구체적으로 막스 보른의 해석에 따라 $\left| \psi(x, t) \right|^{2}$을 시간이 $t$일 때, 어느 지점 $x$에서 입자가 존재할 확률 밀도 함수로 다룬다. 따라서 아래의 식은 시간이 $t$일 때 구간 $[a, b]$에서 입자가 존재할 확률을 의미한다.
$$ \int _{a} ^b |\psi (x,t)|^2dx \\[1em] = \text{The probability that a particle exists in the interval } [a,b] \text{ at time } t $$
힐베르트 공간
모든 파동함수들의 집합을 힐베르트 공간이라 한다. 수학적으로 더 엄밀한 정의가 있지만, 물리학도는 이 정도로만 알아두도록 하자. (링크로 가면 설명을 볼 수는 있다.) 즉 힐베르트 공간이란 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ \text{Hilbert space} = \left\{ \psi_{p, E}(x, t) = e^{\i (px - Et)/\hbar} : \forall p, E \in \mathbb{R} \right\} $$
힐베르트 공간에는 두 원소 사이의 내적이 정의된다. 두 파동함수 의 내적inner product은 다음과 같이 정의된다.
$$ \braket{\psi | \phi} := \int \psi^{*}(x, t) \phi(x, t) dx $$
코시-슈바르츠 부등식
또한 내적이 있으므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. 두 파동함수 $\psi$, $\phi$에 대해,
$$ \left| \braket{\psi | \phi} \right| \leq \sqrt{\braket{\psi | \psi}}\sqrt{\braket{\phi | \phi}} $$
혹은 다음과 같이 표현하기도 한다.
$$ \left| \braket{\psi | \phi} \right|^{2} \le \braket{\psi | \psi} \braket{\phi | \phi} $$