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양자역학에서 파동함수와 힐베르트 공간 📂양자역학

양자역학에서 파동함수와 힐베르트 공간

빌드업

고전 역학에서 주된 관심사는 주어진 조건에서 뉴턴 제2 법칙 F=ma\mathbf{F} = m \mathbf{a}를 만족하는 위치 함수 r(t)\mathbf{r}(t)를 찾는 일이다. 가령 2차원 공간에서 초기속도 v0=(v0cos⁡θ,v0sin⁡θ)\mathbf{v}_{0} = (v_{0}\cos\theta, v_{0}\sin\theta)로 발사된 물체의 시간에 따른 위치는 다음의 연립 방정식을 풀어 구할 수 있고, 이를 포물선 운동이라 한다.

md2rdt2=−mgy^v(0)=(v0cos⁡θ,v0sin⁡θ) \begin{align*} m \dfrac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}} &= -mg\hat{\mathbf{y}} \\ \mathbf{v}(0) &= (v_{0}\cos\theta, v_{0}\sin\theta) \end{align*}

위 식을 풀면 물체의 위치를 나타내는 함수가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.

r(t)=−12gt2y^+tv0 \mathbf{r}(t) = -\dfrac{1}{2}gt^{2}\hat{\mathbf{y}} + t \mathbf{v}_{0}

위치를 알면 속도 v=drdt\mathbf{v} = \dfrac{d\mathbf{r}}{dt}를 알 수 있고, 속도를 알면 운동량 p=mv\mathbf{p} = m\mathbf{v}과 운동 에너지 T=12mv2T = \dfrac{1}{2}mv^{2}를 알 수 있다. 즉 r(t)\mathbf{r}(t)를 구하는 것이 중요한 이유는 이로부터 물체에 대한 물리적인 정보들을 알 수 있기 때문이다.

이와 비슷하게 양자 역학에서 관심을 갖는 것은 입자의 파동 함수이다. 물체의 운동을 분석하기 위해 고전역학에서 뉴턴 제2 법칙의 해를 구한다면, 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식의 해를 구한다. 이 함수가 물체에 대한 물리적인 정보를 담고 있기 때문이다.

정의

다음과 같은 슈뢰딩거 방정식의 해solution를 파동 함수wave function라 한다.

iℏ∂ψ∂t=(−ℏ22m∂2∂x2+V)ψ(1-dim)iℏ∂ψ∂t=(−ℏ22m∇2+V)ψ(3-dim) \begin{align*} \i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t} &= \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial ^{2} }{\partial x^{2} }+V\right)\psi & (\text{1-dim}) \\[1em] \i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t} &= \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi & (\text{3-dim}) \end{align*}

이때 ℏ\hbar는 플랑크상수, VV는 퍼텐셜 ∇2\nabla^{2}는 라플라시안이다.

설명

파동함수의 표기로 주로 쓰이는 표기법들은 다음과 같다.

Ψ(x,t),ψ(x,t),ϕ(x,t),u(x) \Psi(x, t),\quad \psi(x, t),\quad \phi(x, t),\quad u(x)

생새우초밥집에서는 위치와 시간에 대한 파동함수를 ψ(x,t)\psi (x,t)로 표기하고, 시간에 무관하고 위치에 대한 파동 함수는 u(x)u(x)로 표기한다. 퍼텐셜이 없는 경우, 즉 자유입자free particle의 파동함수는 다음과 같다.

ψ(x,t)=ei(kx−ωt)=ei(px−Et)/ℏ(1-dim)ψ(r,t)=ei(k⋅r−ωt)=ei(p⋅r−Et)ℏ(3-dim) \begin{align*} \psi(x, t) &= e^{\i (kx - \omega t)} = e^{\i (px - Et)/\hbar} & (\text{1-dim}) \\ \psi(\mathbf{r}, t) &= e^{\i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r} - \omega t)} = e^{\i (\mathbf{p}\cdot \mathbf{r} - Et)\hbar} & (\text{3-dim}) \end{align*}

위의 슈뢰딩거 방정식에서 V=0V = 0으로 두고 ψ\psi를 대입해보면 식이 성립한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

−ℏ22m∂2∂x2ψ=−ℏ22m(ip)2ℏ2ψ=p22mψ=Eψ {-} \dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi = - \dfrac{\hbar^{2}}{2m} \dfrac{(\i p)^{2}}{\hbar^{2}} \psi = \dfrac{p^{2}}{2m}\psi = E\psi

iℏ∂ψ∂=iℏ(iE)2ℏ2ψ=Eψ \i \hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial } = \i \hbar \dfrac{(\i E)^{2}}{\hbar^{2}} \psi = E\psi

해석

위에서 파동함수가 물체에 대한 물리적인 정보를 담고 있다고 했는데, 이는 구체적으로 막스 보른의 해석에 따라 ∣ψ(x,t)∣2\left| \psi(x, t) \right|^{2}을 시간이 tt일 때, 어느 지점 xx에서 입자가 존재할 확률 밀도 함수로 다룬다. 따라서 아래의 식은 시간이 tt일 때 구간 [a,b][a, b]에서 입자가 존재할 확률을 의미한다.

∫ab∣ψ(x,t)∣2dx=The probability that a particle exists in the interval [a,b] at time t \int _{a} ^b |\psi (x,t)|^2dx \\[1em] = \text{The probability that a particle exists in the interval } [a,b] \text{ at time } t

힐베르트 공간

모든 파동함수들의 집합을 힐베르트 공간이라 한다. 수학적으로 더 엄밀한 정의가 있지만, 물리학도는 이 정도로만 알아두도록 하자. (링크로 가면 설명을 볼 수는 있다.) 즉 힐베르트 공간이란 다음과 같이 표현할 수 있다.

Hilbert space={ψp,E(x,t)=ei(px−Et)/ℏ:∀p,E∈R} \text{Hilbert space} = \left\{ \psi_{p, E}(x, t) = e^{\i (px - Et)/\hbar} : \forall p, E \in \mathbb{R} \right\}

힐베르트 공간에는 두 원소 사이의 내적이 정의된다. 두 파동함수 의 내적inner product은 다음과 같이 정의된다.

⟨ψ∣ϕ⟩:=∫ψ∗(x,t)ϕ(x,t)dx \braket{\psi | \phi} := \int \psi^{*}(x, t) \phi(x, t) dx

코시-슈바르츠 부등식

또한 내적이 있으므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. 두 파동함수 ψ\psi, ϕ\phi에 대해,

∣⟨ψ∣ϕ⟩∣≤⟨ψ∣ψ⟩⟨ϕ∣ϕ⟩ \left| \braket{\psi | \phi} \right| \leq \sqrt{\braket{\psi | \psi}}\sqrt{\braket{\phi | \phi}}

혹은 다음과 같이 표현하기도 한다.

∣⟨ψ∣ϕ⟩∣2≤⟨ψ∣ψ⟩⟨ϕ∣ϕ⟩ \left| \braket{\psi | \phi} \right|^{2} \le \braket{\psi | \psi} \braket{\phi | \phi}