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베셀 함수 📂함수

베셀 함수

정의

아래의 미분 방정식을 $\nu$차 베셀 미분 방정식이라 한다. $$ \begin{align*} x^2 y^{\prime \prime} +xy^{\prime} +(x^2-\nu^2)y&=0 \\ x(xy^{\prime})^{\prime}+(x^2- \nu ^2) y&=0 \\ y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime} + \left( 1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}} \right)y&=0 \end{align*} $$

베셀 발정식의 해를 베셀 함수Bessel function라 한다.

관련된 함수

제1 종 베셀함수

베셀 방정식의 첫번째 해를 $J_{\nu}(x)$라 쓰고 제1 종 베셀함수Bessel functions of the first kind라 부른다. $$ J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2} \right)^{2n+\nu} $$

$$ J_{-\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n-\nu} $$

제2 종 베셀함수

베셀 방정식의 두번째 해를 $N_{\nu}(x)=Y_{\nu}(x)$라고 쓰고 제 2종 베셀 함수Bessel functions of the second kind, 노이만 함수Neumann functions, 베버 함수Weber functions라 부른다. 정수가 아닌 $\nu$에 대해서 $$ N_{\nu}(x)=Y_{\nu}(x)=\frac{\cos (\nu \pi)J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin (\nu\pi)} $$ $\nu$가 정수일 경우 극한으로 정의한다. $\nu\in \mathbb{Z}$, $a \in \mathbb{R}\setminus\left\{\mathbb{Z}\right\}$에 대해서 $$ N_{\nu}(x)=\lim \limits_{a \rightarrow \nu}N_{a}(x) $$

제3 종 베셀함수

제1 종 베셀 함수와 제2 종 베셀함수의 아래와 같은 선형 결합을 제3 종 베셀 함수Bessel functions of the third kind 또는 한켈 함수Hankel functions 라 부른다. $$ H_{p}^{(1)}(x)=J_{p}(x)+iN_{p}(x) \\ H_{p}^{(2)}(x)=J_{p}(x)-iN_{p}(x) $$

변형 베셀함수

아래의 미분 방정식을 변형 베셀 방정식 이라 한다.

$$ x^2 y^{\prime \prime} + xy^{\prime}-(x^2-\nu^2)y=0 $$

변형 베셀 방정식의 해는 아래와 같고 변형 베셀 함수 또는 쌍곡 베셀 함수 라 부른다.

$$ \begin{align*} I_{\nu}(x) & =i^{-\nu}J_{\nu}(ix) \\ K_{\nu}(x) &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}\left[ J_{\nu}(ix)+iN_{\nu}(ix) \right] \\ &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}H_{p}^{(1)}(ix) \\ &=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin (\nu\pi )} \end{align*} $$

성질

대칭성

정수 $\nu$에 대해서 아래의 식이 성립한다.

$$ J_{-\nu}(x)=(-1)^{\nu}J_{\nu}(x) $$

점화식

베셀 함수의 점화식 $$ \begin{align*} & \frac{d}{dx}[x^{\nu} J_{\nu}(x)] =x^{\nu}J_{\nu-1}(x) \\ & \frac{d}{dx}[x^{-\nu}J_{\nu}(x)]=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) \\ & J_{\nu-1}(x)+J_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}J_{\nu}(x) \\ & J_{\nu-1}(x)-J_{\nu+1}(x)=2J^{\prime}_{\nu}(x) \\ & J_{\nu}^{\prime}(x)=-\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)+J_{\nu-1}(x)=\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)-J_{\nu+1}(x) \end{align*} $$

직교성

다음이 성립한다.

$$ \int_{0}^{1} x J_{\nu}(\alpha x) J_{\nu}(\beta x)dx = \begin{cases} 0 &\alpha\ne \beta \\ \frac{1}{2}J^{2}_{\nu+1}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu-1}^{2}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu^{\prime}}^{2}(\alpha) &\alpha=\beta \end{cases} $$