르장드르 다항함수
정의
르장드르 다항함수Legendre polynomial는 여러가지 방법으로 정의된다.
미분방정식의 해로서
다음과 같은 르장드르 미분방정식의 해를 르장드르 다항함수라 한다.
$$ (1-x^{2}) \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}} -2x\dfrac{dy}{dx} + l(l+1) y = 0 $$
로드리게스 공식
다음과 같은 함수 $P_{l}$을 르장드르 다항함수라 한다.
$$ P_{l}(x) = \dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l} $$
이를 로드리게스 공식이라 한다.
설명
정의에 의해 $P_{n}$은 다항'함수'가 맞으나 관습적으로 르장드르 '다항식'이라 부른다. 한국어로만 그런 것이 아니라 영어 표현도 polynomial function이 아닌 Legendre polynomial이다.
르장드르 다항식은 수학, 물리학, 공학 등 여러 분야에서 사용된다. 직교성을 포함하여 수학적으로 여러가지 좋은 성질을 가지고 있고, 구면좌표계에서 라플라스 방정식의 해로서 등장하기 때문이다. 처음 몇 개의 르장드르 다항식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} P_{0}(x) &= 1 \\ P_{1}(x) &= x \\ P_{2}(x) &= \dfrac{1}{2}(3x^2-1) \\ P_{3}(x) &= \dfrac{1}{2}(5x^3-3x) \\ P_{4}(x) &= \dfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\ \vdots \end{align*} $$
성질
직교성
구간 $[-1,1]$에서 르장드르 다항식은 직교 집합을 이룬다. (링크)
$$ \int_{-1}^{1} P_{l}(x)P_{m}(x) dx =\frac{2}{2l+1}\delta_{lm} $$
또한 르장드르 다항식은 자기보다 차수가 낮은 다항식과 직교한다. $f(x)$를 $l$보다 차수가 낮은 임의의 다항식이라 하자. 그러면,
$$ \int_{-1}^{1}P_{l}(x)f(x)dx=0 $$
재귀 관계
르장드르 다항식은 아래의 재귀 공식을 만족한다. (링크)
$$ (2l+1)P_{l}(x)=P^{\prime}_{l+1}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x) $$
$$ lP_{l}(x)=(2l-1)xP_{l-1}(x)-(l-1)P_{l-2}(x) $$
$$ xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)=lP_{l}(x) $$
생성함수
$$ \Phi (x,h)=\frac{1}{\sqrt{1-2xh+h^{2}}},\quad |h|<1 $$
생성함수는 정의에 의해 아래의 식을 만족한다.
$$ \Phi (x,h)=P_{0}(x)+hP_{1}(x)+h^{2}P_{2}(x)+\cdots =\sum \limits_{l=0}^{\infty}h^{l}P_{l}(x) $$