📂정수론

산술 함수의 부분합에 대한 일반화된 디리클레 곱 표현

정리 ¹

$h = f \ast g$ 인 산술 함수 $f,g,h$ 에 대해 $F, G, H$ 를 다음과 같이 정의하자. $$F (x) := \sum_{n \le x} f(x) \\ G (x) := \sum_{n \le x} g(x) \\ H (x) := \sum_{n \le x} h(x)$$ 그러면 $$H = f \circ G = g \circ F$$ 여기서 연산 $\circ$ 는 일반화된 컨볼루션을 의미한다. 다시 말해, 다음이 성립한다. $$H(x) = \sum_{n \le x} f(n) G \left( {{ x } \over { n }} \right) = \sum_{n \le x} g(n) F \left( {{ x } \over { n }} \right)$$

증명

$$U(x) := \begin{cases} 0 &, 0 < x < 1 \\ 1 &, 1 \le x\end{cases}$$ 위와 같이 $x \in (0,1)$ 에서 $U(x) = 0$ 인 함수 $U : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{C}$ 를 정의하면 $$F = f \circ U \\ G = g \circ U$$

일반화된 컨볼루션의 성질: $\alpha$ 와 $\beta$ 는 산술 함수고 $F , G : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{C}$ 는 $x \in (0,1)$ 에서 함숫값이 $0$ 인 함수이라 하면 $$\alpha \circ \left( \beta \circ F \right) = \left( \alpha \ast\ \beta \right) \circ F$$

일반화된 컨볼루션의 성질에 따라 $$f \circ G = f \circ \left( g \circ U \right) = \left( f \ast\ g \right) \circ U = H \\ g \circ F = g \circ \left( f \circ U \right) = \left( g \ast\ f \right) \circ U = H$$

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