📂복소해석

코시-리만 방정식

정리 ¹

함수 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 $\mathscr{R}$ 에서 해석적이라고 하자. 만약 실함수 $u,v$ 에 대해 $$f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$$ 이라면 $u,v$ 는 $x,y$ 에 대한 일차편도함수가 존재하며 $\mathscr{R}$ 상의 모든 점에서 아래의 연립미분방정식을 만족시킨다. $$\begin{cases} u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y) \\ u_{y} (x,y) = -v_{x} (x,y) \end{cases}$$

요약

코시-리만 방정식은 아래와 같이 요약된다.

$$\begin{align*} f '(z) =& u_x + i v_x \\ =& v_y - i u_y \\ =& u_x -i u_y \\ =& v_y + i v_x \end{align*}$$

극좌표꼴 ¹

$f \left( r e^{i \theta} \right) = u (r,\theta) + i v (r, \theta)$ 면 $$\begin{cases} u_{r} (r, \theta) = {{ 1 } \over { r }} v_{\theta} (r,\theta) \\ v_{r} (r,\theta) = - {{ 1 } \over { r }} u_{\theta} (r,\theta) \end{cases}$$

설명

낯설기만한 복소수상에서의 미분을 한결 편안하게 만들어주는 정리다. 실수상에서의 미분공식과 복소수상의 미분공식이 유사함을 보이는데 아주 필수적이다.

일반적으로 역은 성립하지 않음에 주의하자. 즉, 코시-리만 방정식을 만족하더라도 $f$ 가 미분가능하지 않을 수 있다. 역이 성립하는 조건은 편도함수들의 연속성과 관계되어 따로 있다.

증명

함수 $f$ 는 $\mathscr{R}$ 위의 모든 점에서 미분가능하므로, $h \to 0$ 의 경로와 상관 없이 $f ' (z) = \lim_{h \to 0} {{f(z+h) - f(z)} \over {h}}$ 가 유일하게 존재한다.

$h=\alpha + i \beta$ 로 두자. 여기서 $\beta=0$ 이라면 $h$ 는 실수축에서 움직이고, $\alpha=0$ 이라면 $h$ 는 허수축에서 움직일 것이다. 먼저 실수축부터 살펴보면, $$\begin{align*} f '(z) =& \lim_{\alpha \to 0} {{ ( u(x+\alpha,y) - u(x,y) ) + i ( v(x+\alpha,y) - v(x,y) ) } \over {\alpha}} \\ =& u_{x} (x,y) + i v_{x} (x,y) \end{align*}$$ 그리고 허수축을 살펴보면, $$\begin{align*} f '(z) =& \lim_{\beta \to 0} {{ ( u(x,y+\beta) - u(x,y) ) + i ( v(x,y+\beta) - v(x,y) ) } \over {i \beta}} \\ =& { {u_{y} (x,y) + i v_{y} (x,y)} \over i } \\ =& v_{y} (x,y) - i u_{y} (x,y) \end{align*}$$ 극한을 구할 때 분모에 $i \beta$ 가 있어서 이런 결과가 도출되었음에 주목하자.

조건에서 $f ' (z)$ 는 $h \to 0$ 의 경로와 상관없이 유일하다고 했으므로, 실수부와 허수부를 비교해보면 $u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y)$이고 $-u_{y} (x,y) = v_{x} (x,y)$이어야한다.

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한편