📂단층촬영

CT(컴퓨터 단층촬영)의 원리

원리

CT는 Computerized Tomography의 약자로, 컴퓨터 단층촬영이라 한다. 몸의 단면 사진을 얻는 기술로서, MRI와 같이 대중들에게도 잘 알려진 의료영상이다.

우리의 신체는 뼈, 근육, 물 등 다양한 물질로 이루어져있다. CT는 각 물질들이 X-선¹을 흡수하는 정도가 다르다는 점을 이용하여 단면 사진을 얻는다. 아래의 그림을 보자.

(가)에서 흰 사각형은 방사선을 많이 흡수하는 물질(예를 들어 뼈)라고 하자. 방사선은 이 사각형을 지나갈 때 $1$만큼 흡수된다. 검은 사각형은 방사선을 잘 흡수하지 않는 물질(예를 들어 물, 지방)이라고 하자. 방사선은 이 사각형을 지나갈 때 $0$만큼 흡수된다. 그러면 (가)에서 각 화살표 방향대로 진행한 방사선은 화살표 끝에 적인 숫자만큼 흡수된다.

이제 (나)를 보자. 실제로 CT에서 해야하는 일은 화살표 끝에 적힌 숫자들로부터 사각형 안의 숫자들을 맞추는 것이다. 이 경우 각 사각형이 $0$ 또는 $1$의 값을 갖는다고 하면, 손으로 직접 계산해봐도 어렵지 않게 찾을 수 있다. 하지만 값을 조금만 바꿔봐도 저러한 결과가 나오는 조합이 유일하지 않다는 것을 알게 될 것이다. 이제 다음의 예시를 보자.

(다)와 (라)는 서로 다르지만, 각각의 방사선이 흡수된 양이 정확하게 일치한다. 즉 이 정보만 가지고 우리가 알고 싶은 것(신체 단면 사진)을 정확하게 알 수 없다. 이제 또 다른 경로로 방사선을 쐈다고 해보자.

(마)와 (라)에서 대각으로 쏜 방사선이 흡수된 정도가 다르므로, 두 경우가 구분된다. 따라서 이 사각형들이 방사선을 얼마나 흡수하는지를 알려면, 최대한 많은 방향으로 방사선을 쏴서 각각이 얼마나 흡수됐는지를 알아야한다.

쏘는 방사선의 수가 많을 수록, 다양한 방향으로 쏠 수록 신체 단면에 대한 정보를 정확하게 얻을 수 있다. 그래서 CT 촬영 장치는 위 사진처럼 원모양으로 생겨서, 빙글빙글 돌아가며 가능한 많은 방향으로 방사선을 쏴 정보를 얻는다.

수학적 이론: 라돈 변환

신체 내부의 각 부위에서 방사선을 흡수하는 정도를 나타내는 함수를 $f$라고 하자. 그러면 각각의 방사선에 대해서 흡수된 정도를 나타내는 함수는 $f$의 라돈 변환 $\mathscr{R}f$이다.

아래에서 왼쪽의 사진은 뇌의 단면사진이다. 이를 $f$라고 하면, 실제로 CT에서 얻어지는 데이터 $\mathcal{R}f$는 아래의 오른쪽 그림과 같다.

CT 데이터 $\mathcal{R}f$가 라돈 역변환이라는 과정을 거치면서 우리가 알고 싶었던 사진으로 복원된다. 아래의 그림은 위의 오른쪽 사진을 라돈 역변환 한 것이다.