📂전자기학

움직이는 점전하가 만드는 자기장

개요 ¹

움직이는 점전하가 만드는 전자기장은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &= \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{\cR} {( \bcR\cdot \mathbf{u} )^3 } \left[(c^2-v^2)\mathbf{u} +\bcR\times (\mathbf{u} \times \mathbf{a} ) \right] \\ \mathbf{B} (\mathbf{ r}, t) &=\frac{1}{c} \crH\times \mathbf{ E } (\mathbf{ r}, t) \end{align*} $$

설명

자기장의 식은 구체적으로 다음과 같다.

$$ \mathbf{B}=-\frac{1}{c}\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{q}{ (\mathbf{u}\cdot \bcR)^{3}} \bcR \times \left[ (c^{2}-v^{2})\mathbf{v}+(\bcR \cdot \mathbf{a})\mathbf{v}+(\bcR \cdot \mathbf{u})\mathbf{a} \right] $$

자기장에 대한 유도과정을 소개한다.

유도

리에나르-비케르트 전위는 움직이는 점전하가 만드는 전위를 나타낸다.

$$ V(\mathbf{r}, t)= \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{qc}{ (\cR c -\bcR\cdot \mathbf{v})} ,\quad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{ \mathbf{v} } {c^2} V(\mathbf{r}, t) $$

자기장은 다음과 같이 계산한다.

$$ \quad \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A} $$

그러므로

$$ \begin{align} \nabla \times \mathbf{A} &= \nabla \times \left( \frac{\mathbf{v}}{c^{2}}V(\mathbf{r},t) \right) \nonumber \\[1em] &= \frac{1}{c^{2}}\left(\nabla \times V \mathbf{v}\right) \nonumber \\[1em] &= \frac{1}{c^{2}} \Big( V(\nabla \times \mathbf{v})-\mathbf{v}\times(\nabla V) \Big) \end{align} $$

세번째 등호는 컬에 대한 곱셈규칙 $\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \times (\nabla f)$에 의해 성립한다. 마지막 둘에서 $\nabla \times \mathbf{v}$의 결과는 움직이는 점전하가 만드는 전기장에서 이미 구했다.

$$ \nabla \times \mathbf{v}=-\mathbf{a}\times \nabla t_{r}=\frac{\mathbf{a}\times \bcR}{\cR c - \bcR\cdot \mathbf{v}} $$

따라서

$$ \begin{align*} V(\nabla \times \mathbf{v} )&= \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{qc}{ (\cR c -\bcR\cdot \mathbf{v})}\frac{\mathbf{a}\times \bcR}{\cR c - \bcR\cdot \mathbf{v}} \\ &= \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{qc(\mathbf{a}\times \bcR)}{ (\cR c -\bcR\cdot \mathbf{v})^{2}} \end{align*} $$

여기서 $\mathbf{u}=c\crH-\mathbf{v}$로 두면 $\cR c - \bcR\cdot \mathbf{v}=\mathbf{u}\cdot \bcR$이고, 마지막에 계산하기 쉬운꼴로 미리 바꿔주면

$$ \begin{equation} V(\nabla \times \mathbf{v} )= \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{qc(\mathbf{u}\cdot \bcR)(\mathbf{a}\times \bcR)}{ (\mathbf{u}\cdot \bcR)^{3}} \end{equation} $$

$\nabla V$역시 같은 문서에서 계산했다.

$$ \nabla V = \frac{qc}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{1}{ (\cR c -\bcR \cdot \mathbf{v} )^3} \Big[ (\cR c -\bcR \cdot \mathbf{v})\mathbf{v} - (c^2 -v^2+\bcR \cdot \mathbf{a} ) \bcR \Big] $$

같은 벡터끼리의 외적은 $0$이므로

$$ \begin{align} \mathbf{v}\times \nabla V &= \frac{qc}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{1}{ (\cR c -\bcR \cdot \mathbf{v} )^3}\mathbf{v}\times \Big[ - (c^2 -v^2+\bcR \cdot \mathbf{a} ) \bcR \Big] \nonumber \\ &= \frac{qc}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{1}{ (\mathbf{u}\cdot \bcR)^3}\left[ -(c^{2}-v^{2})\mathbf{v}\times \bcR -(\bcR\cdot \mathbf{a})\mathbf{v}\times \bcR \right] \end{align} $$

$(2)$, $(3)$을 $(1)$에 대입하면

$$ \begin{align*} \mathbf{B}= \nabla \times \mathbf{A} &= \frac{1}{c^{2}}\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{qc}{ (\mathbf{u}\cdot \bcR)^{3}}\left[ (\mathbf{u}\cdot \bcR)(\mathbf{a}\times \bcR)+(c^{2}-v^{2})\mathbf{v}\times \bcR +(\bcR\cdot \mathbf{a})\mathbf{v}\times \bcR\right] \\ &=-\frac{1}{c}\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{q}{ (\mathbf{u}\cdot \bcR)^{3}} \bcR \times \left[ (c^{2}-v^{2})\mathbf{v}+(\bcR \cdot \mathbf{a})\mathbf{v}+(\bcR \cdot \mathbf{u})\mathbf{a} \right] \end{align*} $$

이 결과는 움직이는 점전하가 만드는 전기장의 꼴과 상당히 닮았다.

$$ \mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\cR}{(\bcR\cdot \mathbf{u})^{3}}\left[ (c^{2}-v^{2})\mathbf{u} + \mathbf{u}(\bcR\cdot\mathbf{a})-\mathbf{a}(\bcR\cdot\mathbf{u}) \right] $$

$\mathbf{u}$대신 $\mathbf{v}$가 들어간 정도의 차이밖에 나지 않는다. 실제로 $\bcR\times \mathbf{u}=\cR \times (c\crH-\mathbf{v})=-\bcR\times \mathbf{v}$가 성립하므로 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \frac{1}{c}\crH\times \mathbf{E}(\mathbf{r},t) &= \frac{1}{c}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q}{(\bcR\cdot \mathbf{u})^{3}}\bcR\times \left[ (c^{2}-v^{2})\mathbf{u} + \mathbf{u}(\bcR\cdot\mathbf{a})-\mathbf{a}(\bcR\cdot\mathbf{u}) \right] \\ &=\frac{1}{c}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q}{(\bcR\cdot \mathbf{u})^{3}}\bcR\times \left[ (c^{2}-v^{2})(-\mathbf{v}) -\mathbf{v}(\bcR\cdot\mathbf{a})-\mathbf{a}(\bcR\cdot\mathbf{u}) \right] \\ &=-\frac{1}{c}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q}{(\bcR\cdot \mathbf{u})^{3}}\bcR\times \left[ (c^{2}-v^{2})\mathbf{v} + \mathbf{v}(\bcR\cdot\mathbf{a})+\mathbf{a}(\bcR\cdot\mathbf{u}) \right] \\ &=\mathbf{B}(\mathbf{r},t) \end{align*} $$

즉, 점전하가 만드는 자기장은 전기장과 지연 위치까지의 벡터와 직교한다.

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