📂복소해석

복소해석에서 삼각함수와 쌍곡함수의 관계

정의 ¹

복소함수로써의 쌍곡함수 $\sinh, \cosh : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 를 아래와 같이 정의하자. $$\sinh z := { {e^{z} - e^{-z}} \over 2 } \\ \cosh z := { {e^{z} + e^{-z}} \over 2 }$$

정리 ²

$$\begin{align*} \sinh (iz) =& i \sin z \\ \sin (iz) =& i \sinh z \\ \cosh (iz) =& \cos z \\ \cos (iz) =& \cosh z \end{align*}$$

설명

쌍곡함수를 처음 접할때 가장 이해가 되지 않는 것이 바로 ‘왜 이런 정의를 쓰는가’ 하는 점이다. 실수 상에서 삼각함수는 단위원의 삼각비로 정의되고 쌍곡함수는 지수함수의 선형결합으로 나타나는데, 정의만 보아서는 쌍곡함수를 왜 삼각함수의 일종처럼 부르는지 납득하기 어려운 것이다. 복소수 상에서 이 함수들을 봐야만 이 체계가 얼마나 잘 짜여져있고 직관적인지 납득할 수 있다.

위의 성질들은 삼각함수에서 원래 쓰던 성질들과도 어느정도 맥락을 함께한다.

사인함수는 기함수, 코사인함수는 우함수

$$\sin (-\theta) = - \sin \theta \\ \cos (-\theta) = \cos \theta$$

$-1$ 이 $\sin$ 의 안팎을 자유롭게 드나들고 $\cos$ 에 영향을 미치지 못하듯, $i$ 는 $\sin$ 과 $\sinh$ 의 안팎을 자유롭게 드나들고 $\cos$ 과 $\cosh$ 에 영향을 미치지 못한다. 다른 점은 $\sin$ 이든 $\cos$ 이든 $\text{h}$ 가 붙었다 떨어졌다 하는 상태가 반전된다는 것이다. 복소수가 음과 양의 구분을 음도 양도 아닌 $i$ 와 $-i$ 의 세계를 만들었다고 생각해보면 삼각함수도 $\sin$ 이냐 $\cos$ 이냐를 넘어 $\sinh$ 와 $\cosh$ 이 필요한 것이다.

쌍곡함수의 주기성

$$\sinh (ix) = i \sin x \\ \cosh (ix) = \cos x$$

한편 삼각함수와 쌍곡함수의 관계에서 쌍곡함수가 순허수에서 주기성을 가짐을 쉽게 확인할 수 있다. 조금만 생각하면 금방 알 수 있지만 그 성질이 익숙하지 않을때는 혼자 깨닫기 어렵다.

증명

복소해석에서의 삼각함수: $$\sin z = { {e^{iz} - e^{-iz}} \over 2 i } \\ \cos z = { {e^{iz} + e^{-iz}} \over 2 }$$

$$\sinh (iz) = { { e^{iz} - e^{-iz} } \over 2 } = i { { e^{iz} - e^{-iz} } \over {2 i} } = i \sin z$$

$$\sin (iz) = { {e^{iiz} - e^{-iiz}} \over 2 i } = - i { {e^{-z} - e^{z}} \over 2 } = i \sinh z$$

$$\cosh (iz) = { { e^{iz} + e^{-iz} } \over 2 } = \cos z$$

$$\cos (iz) = { { e^{iiz} + e^{-iiz} } \over 2 } = { { e^{-z} + e^{z} } \over 2 } = \cosh z$$

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