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리즈 기저 📂힐베르트공간

리즈 기저

정의1

힐베르트 공간 HH의 정규 직교 기저 {ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}이 주어져 있다고 하자. 전단사 U:H→HU : H \to H가 선형이고 유계인 작용소 모든 k∈Nk \in \mathbb{N}에 대해 vk:=Uek\mathbf{v}_{k} := U \mathbf{e}_{k}라고 하면 {vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}는 HH의 기저가 되며 다음이 성립한다.

v=∑k∈N⟨v,(U−1)∗ek⟩vk \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \left( U^{-1} \right)^{ \ast } \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{v}_{k}

설명

UU 가 주어졌을 때 위와 같이 기저를 구체적으로 잡을 수 있다는 것은 분명 좋은 일이지만 UU의 조건도 그만큼 좋아야함에 주의하자. 물론 항등 작용소 II는 이를 가볍게 만족시키지만, 결국 vk=ek\mathbf{v}_{k} = \mathbf{e}_{k}가 되므로 공허한 주장만이 남는다.

증명

{ek}k=1∞\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} 가 VV 의 기저이므로, v∈V\mathbf{v} \in V 는 a1=⋯=0a_{1} = \cdots = 0 이 아닌 {ak}k=1∞⊂C\left\{ a_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} \subset \mathbb{C} 에 대해 다음과 같이 나타난다.

v=∑k=1∞akek \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k}

{ek}k=1∞\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} 의 정규직교성에 의해 ⟨ei,ei⟩=1\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{i} \right\rangle = 1 이고 i≠ji \ne j 에 대해 ⟨ei,ej⟩=0\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = 0 이므로

⟨v,v⟩=∑k=1∞ak2 \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2}

한편 v=∑k=1∞akek\mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k} 에서

⟨v,v⟩=∑k=1∞ak⟨v,ek⟩ \left\langle \mathbf{v} ,\mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle

즉

∑k=1∞ak2=∑k=1∞ak⟨v,ek⟩ \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle

정리하면

∑k=1∞ak(ak−⟨v,ek⟩)=0 \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left( a_{k} - \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \right) = 0

따라서 모든 k∈Nk \in \mathbb{N} 에 대해 ak=⟨v,ek⟩a_{k} = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle 이어야하고

v=∑k=1∞⟨v,ek⟩ek \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k}

작용소 UU 를 취하면

Uv=∑k=1∞⟨v,ek⟩vk U \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{v}_{k}

여기서 U−1U^{-1} 의 수반 작용소 (U−1)∗\left( U^{-1} \right)^{ \ast } 는 리즈 표현 정리에 의해 유일하게 존재한다.

v=U(U−1v)=∑k=1∞⟨U−1v,ek⟩vk=∑k=1∞⟨v,(U−1)∗ek⟩vk \begin{align*} \mathbf{v} =& U \left( U^{-1} \mathbf{v} \right) \\ =& \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle U^{-1} \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{v}_{k} \\ =& \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \left( U^{-1} \right)^{ \ast } \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{v}_{k} \end{align*}

따라서 모든 v∈H\mathbf{v} \in H 와 {vk=Uek}k=1∞\left\{ \mathbf{v}_{k} = U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} 다음을 만족하는 {ck:=⟨v,(U−1)∗ek⟩}k∈N⊂C\left\{ c_{k} := \left\langle \mathbf{v} , \left( U^{-1} \right)^{ \ast } \mathbf{e}_{k} \right\rangle \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} 이 유일하게 존재한다.

v=∑k=1∞ckvk \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k}

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  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p91 ↩︎