힐베르트 공간의 수반 작용소
빌드업1
힐베르트 공간 $\left( H, \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{H} \right)$ 과 $\left( K, \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{K} \right)$ 에 대해 유계 선형 작용소 $T : K \to H$ 가 주어져있다고 하자. 그러면 임의의 고정된 원소 $\mathbf{w} \in H$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $\Phi : K \to \mathbb{C}$ 는 선형 범함수 $\Phi \in K^{ \ast }$ 가 된다.
$$ \Phi \mathbf{v} := \left\langle T \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle_{H} $$
리즈 표현 정리에 따르면 힐베르트 공간 $K$ 는 $\Phi \in K^{ \ast }$ 와 모든 $\mathbf{v} \in K$ 에 대해 다음을 만족하는 원소 $T^{ \ast } \mathbf{w} \in K$ 가 유일하게 존재해야한다.
$$ \Phi \mathbf{v} = \left\langle \mathbf{v} , T^{ \ast } \mathbf{w} \right\rangle_{K} $$
앞서 픽스된 원소 $\mathbf{w} \in H$ 에 대해 $T^{ \ast } \mathbf{w} \in K$ 가 구체적으로 무엇인지는 알 수 없지만, $T^{ \ast }$ 는 $\mathbf{w}$ 를 $T^{ \ast } \mathbf{w}$ 로 매핑하는 작용소 $T^{ \ast } : H \to K$ 로 볼 수 있다. 이러한 논의에서 다음과 같은 개념을 떠올릴 수 있다.
정의
$H,K$ 가 힐베르트 공간이라 하자. 유계 선형 작용소 $T : K \to H$ 에 대해 다음을 만족하는 $T^{ \ast } : H \to K$ 를 $T$ 의 수반 작용소adjoint operator 라 한다.
$$ \left\langle T \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle_{H} = \left\langle \mathbf{v} , T^{ \ast } \mathbf{w} \right\rangle_{K} ,\quad \forall \mathbf{v} \in K $$
설명
듀얼 오퍼레이터dual operator라고도 한다. $T^{\#}$으로도 표기한다.
수반 작용소는 다음과 같은 성질을 갖는다.
- $T^{ \ast }$ 는 선형이고 유계다.
- $\left( T^{ \ast } \right)^{ \ast } = T$
- $\left\| T^{ \ast } \right\| = \left\| T \right\|$
한편 $H = K$ 일 때, 다음과 같이 좋은 성질들을 갖는 수반 작용소는 조금 더 특별한 이름으로 부른다. $H$ 가 힐베르트 공간이고 $T : H \to H$ 가 선형이고 유계라 하자1.
- $T = T^{ \ast }$ 면 $T$ 가 자기 수반self-adjoint이라 한다.
- $TT^{ \ast } = T^{ \ast }T = I$ 면 $T$ 가 유니터리unitary라 한다.
$T$ 가 자기 수반이면 모든 $\mathbf{v} , \mathbf{w} \in H$ 에 대해
$$ \left\langle T \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} , T \mathbf{w} \right\rangle $$
$T$ 가 유니터리면 모든 $\mathbf{v} , \mathbf{w} \in H$ 에 대해
$$ \left\langle T \mathbf{v} , T \mathbf{w} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle $$
정의로부터 유니터리 $T$ 는 가역이고,
$$ T^{-1} = T^{ \ast } $$
특히 유니터리 작용소는 정규직교 기저와 관련된 아주 중요한 성질을 가진다.