📂정수론

해석적 수론에서의 뫼비우스 함수

정의 ¹

소수 $p_{1} , \cdots , p_{k}$ 에 대해 자연수 $n$ 을 $n = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{k}^{a_{k}}$ 과 같이 나타낸다고 하자. 다음과 같이 정의된 산술 함수 $\mu$ 을 뫼비우스 함수라 한다. $$ \mu (n) := \begin{cases} 1 &, n=1 \\ (-1)^{k} &, a_{1} = \cdots = a_{k} = 1 \\ 0 & , \text{otherwise} \end{cases} $$

기초 성질

• [1] 뫼비우스 급수: 아이덴터티 $I$ 다. 다시 말해, $$ \sum_{d \mid n } \mu (d) = I(n) $$
• [2] 승법성: $\gcd (m,n) = 1$ 을 만족하는 모든 $m, n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\mu (mn) = \mu (m) \mu (n)$

설명

$$ \begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \mu (n) & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ \sum_{d \mid n} \mu (d) & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} $$ 뫼비우스 함수는 쉽게 말해 같은 소수가 $2$ 번 이상 곱해지지 않은 수만 신경쓰는 함수다. 소수가 $2$ 번 이상 곱해지지 않았다면 소수가 짝수개만큼 쓰였는지 홀수개만큼 쓰였는지에 따라 음양만 달라진다. 그러나 이는 단순히 정의의 대한 설명일 뿐이다. 뫼비우스 함수는 그 자체만 보아서는 직관적인 의미를 알 수가 없지만, 정수론 전반에서 끝없이 등장하는 주요 함수다. 특히 해석적 정수론에서는 더더욱 그러하다.

증명

[1]

$n = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{k}^{a_{k}} > 1$ 이라고 하면 이항 정리에 따라 $$ \begin{align*} & \sum_{d \mid n } \mu (d) \\ =& \mu (1) \\ & + \mu (p_{1}) + \cdots + \mu (p_{k}) \\ & + \mu (p_{1}p_{2}) + \cdots + \mu (p_{k-1}p_{k}) \\ & \vdots \\ & + \mu (p_{1}p_{2} \cdots p_{k-1}p_{k}) \\ =& 1 \\ & + \underbrace{(-1) + \cdots + (-1)}_{k} \\ & + \underbrace{1 + \cdots + 1}_{k(k-1)/2} \\ & \vdots \\ & + (-1)^{k} \\ =& 1 + \binom{k}{1} (-1) + \binom{k}{2}(-1)^{2} + \cdots + \binom{k}{k} (-1)^{k} \\ =& [1 + (-1)]^{k} \end{align*} $$

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[2]

$m$ 과 $n$ 둘 중 하나라도 약수 중 소수의 제곱이 있을 경우 $\mu$ 의 정의에서 $\mu (mn) = 0$ 이고 $\mu (m) \mu (n) = 0$ 이므로 $$ \mu (mn) = \mu (m) \mu (n) $$ 이다. 그러므로 $m$ 과 $n$ 은 다음과 같이 소수가 한번씩만 곱해진 형태라고 가정하자. $$ m = p_{1} \cdots p_{s} \\ n = q_{1} \cdots q_{t} $$ 그러면 $$ \mu (mn) = (-1)^{s + t} = (-1)^{s} (-1)^{t} = \mu (m) \mu (n) $$

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