📂정수론

산술 함수의 승법적 성질

정의 ¹

1. $\forall n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $f(n) = 0$ 은 아닌 산술 함수 $f$ 가 다음을 만족시키면 승법적 함수라 한다. $$ f(mn) = f(m) f(n) \qquad,\gcd(m,n)=1 $$
2. 승법적 함수가 다음 조건을 만족시키면 완전 승법적 함수라 한다. $$ f(mn) = f(m) f(n) \qquad,m,n \in \mathbb{N} $$

기초성질

• [1]: $f$ 가 승법적이면 $f(1) = 1$ 이다.
• [2]: $f$ 가 승법적 함수인 것과 모든 소수 $p_{1} , \cdots , p_{r}$ 와 모든 $a_{1} , \cdots, a_{r} \in \mathbb{N}$ 에 대해 $f \left( p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}} \right) = f \left( p_{1}^{a_{1}} \right) \cdots f \left( p_{r}^{a_{r}} \right)$ 은 동치다.
• [3]: $f$ 가 승법적이면 $p \mid n$ 을 만족하는 소수 $p$ 들에 대해 $$ \sum_{d \mid n} \mu (d) f(d) = \prod_{p \mid n} \left( 1 - f(p) \right) $$
• [4]: $f$ 가 승법적이라면, $f$ 가 완전 승법적 함수인 것과 모든 소수 $p$ 와 모든 $a \in \mathbb{N}$ 에 대해 $f \left( p^{a} \right) = \left[ f(p) \right]^{a}$ 은 동치다.
• [5]: $f$ 가 승법적이라면, $f$ 가 완전 승법적 함수인 것과 $f$ 의 디리클레 곱에 대한 인버스 $f^{-1}$ 가 다음과 같이 나타나는 것과 동치다. $$ f^{-1} (n) = \mu (n) f (n) $$
• [6]: $f$ 가 완전 승법적이면 $F(n) := \sum_{d \mid n} f(d)$ 는 승법적이다.

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• $\mu$ 는 뫼비우스 함수다.

설명

당연하지만 완전 승법적이면 승법적이다.

산술 함수가 승법적이라는 것은 수학 전반에서 말하는 ‘독립’ 비슷한 조건을 갖춘 것이나 마찬가지다. 함수값을 잘게 쪼개서 생각할 수 있으므로 자연스레 풍부한 수학적 성질들을 가지게 된다.

정리 [1]은 아주 간단하게 유도되지만 $f(1) \ne 0$ 임을 함의하므로 승법적 함수의 집합이 그룹이 되는데에 핵심적인 조건이 된다.

증명

[1]

$f(1) = f( 1 \cdot 1) = f(1) f(1)$ 이므로 $f(1) = 1$ 이어야한다.

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[2]

$(\Rightarrow)$

$f$ 는 승법적이고 서로 다른 소수 $p \ne q$ 에 대해 항상 $\gcd \left( p^{a} , q^{b} \right) = 1$ 이므로 $$ \begin{align*} f \left( p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}} \right) =& f \left( p_{1}^{a_{1}} \right) f \left( p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}} \right) \\ =& f \left( p_{1}^{a_{1}} \right) f \left( p_{2}^{a_{2}} \right) f \left( p_{3}^{a_{3}} \cdots p_{r}^{a_{r}} \right) \\ =& f \left( p_{1}^{a_{1}} \right) \cdots f \left( p_{r}^{a_{r}} \right) \end{align*} $$

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$(\Leftarrow)$

$m = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}}$, $n = q_{1}^{b_{1}} \cdots q_{s}^{b_{s}}$ 그리고 $\gcd(m,n) =1$ 이라고 하면 $$ \begin{align*} f(mn) =& f \left( p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}} q_{1}^{b_{1}} \cdots q_{s}^{b_{s}} \right) \\ =& f \left( p_{1}^{a_{1}} \right) \cdots f \left( p_{r}^{a_{r}} \right) f \left( q_{1}^{b_{1}} \right) \cdots f \left( q_{s}^{b_{s}} \right) \\ =& f \left( p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}} \right) f \left( q_{1}^{b_{1}} \cdots q_{s}^{b_{s}} \right) \\ =& f(m)f(n) \end{align*} $$

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[3]

전략: 뫼비우스 함수의 성질들을 사용해야한다.

뫼비우스 함수의 정의: 소수 $p_{1} , \cdots , p_{k}$ 에 대해 자연수 $n$ 을 $n = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{k}^{a_{k}}$ 과 같이 나타낸다고 하자. 다음과 같이 정의된 산술 함수 $\mu$ 을 뫼비우스 함수라 한다. $$ \mu (n) := \begin{cases} 1 &, n=1 \\ (-1)^{k} &, a_{1} = \cdots = a_{k} = 1 \\ 0 & , \text{otherwise} \end{cases} $$ 승법성: $\gcd (m,n) = 1$ 을 만족하는 모든 $m, n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\mu (mn) = \mu (m) \mu (n)$

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$$ g(n) := \sum_{d \mid n} \mu (d) f(d) $$ 그리고 $m$ 이 $g(m,n) = 1$ 을 만족한다고 하자. 그러면 $a \mid m$ 과 $b \mid n$ 을 만족하는 $d = ab$ 에 대해서는 $\gcd(a,b) = 1$ 도 성립하므로 시그마를 따로 생각할 수 있다. 또한 $\mu$ 는 승법적이고 전제에서 $f$ 는 승법적이므로 $$ \begin{align*} g(mn) =& \sum_{ab \mid mn} \mu (ab) f(ab) \\ =& \sum_{a \mid m \\ b \mid n} \mu (ab) f(ab) \\ =& \sum_{a \mid m \\ b \mid n} \mu (a) \mu (b) f(a) f(b) \\ =& \sum_{a \mid m} \mu (a) f(a) \sum_{b \mid n} \mu (b) f(b) \\ =& g(m)g(n) \end{align*} $$

따라서 $g$ 또한 승법적이다. 그러면 정리 [2]에 따라 $g \left( p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}} \right) = g \left( p_{1}^{a_{1}} \right) \cdots g \left( p_{r}^{a_{r}} \right)$ 이므로 픽스된 소수 $p$ 에 대해 $g \left( p^{a} \right)$ 만 계산하면 된다. 정리 [1]에 따라 $f(1)=1$ 그리고 $\mu (1) = 1$ 이고 $\mu (p) = -1$, 그 이상 차수 $k \ge 2$ 에 대해서는 모두 $\mu (p^{k}) = 0$ 이므로 $$ \begin{align*} g \left( p^{a} \right) =& \sum_{d \mid p^{a}} \mu (d) f(d) \\ =& \mu (1) f(1) + \mu (p) f(p) \\ =& 1 \cdot 1 - 1 \cdot f(p) \\ =& 1 - f(p) \end{align*} $$ 자연수 $n = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}}$ 에 대해 정리하면 $$ g(n) = \prod_{p \mid n} g \left( p^{a} \right) = \prod_{p \mid n} \left( 1 - f(p) \right) $$

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[4]

$(\Rightarrow)$

$f$ 는 완전 승법적이므로 $$ f \left( p^{a} \right) = f(p) \left( p^{a-1} \right) = \left[ f(p) \right]^{2} \left( p^{a-2} \right) = \cdots = \left[ f \left( p \right) \right]^{a} $$

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$(\Leftarrow)$

소수 $p_{1} , \cdots , p_{s}$ 와 정수 $a_{1} , \cdots, a_{s} , b_{1} , \cdots , b_{s} \in \mathbb{N}_{0}$ 그리고 자연수 $c_{1}, \cdots , c_{t} \in \mathbb{N}$ 에 대해 임의의 $m$ 과 $n$ 이 다음과 같이 나타난다고 해보자. $$ m = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{t}^{a_{t}} \\ n = p_{1}^{b_{1}} \cdots p_{t}^{b_{t}} \\ mn = p_{1}^{c_{1}} \cdots p_{t}^{c_{t}} $$ $m$ 과 $n$ 은 소수 $p_{i}$ 를 약수로 가지지 않으면 각각 $a_{i} = 0$, $b_{i} = 0$ 이다. $f$ 는 승법적이므로 $$ \begin{align*} f(mn) =& f \left( p_{1}^{c_{1}} \cdots p_{t}^{c_{t}} \right) \\ =& f \left( p_{1}^{c_{1}}) \cdots f( p_{t}^{c_{t}} \right) \\ =& \left[ f ( p_{1}) \right]^{c_{1}} \cdots \left[ f ( p_{t}) \right]^{c_{t}} \\ =& \left[ f ( p_{1}) \right]^{a_{1}} \left[ f ( p_{1}) \right]^{b_{1}} \cdots \left[ f ( p_{t}) \right]^{a_{t}} \left[ f ( p_{t}) \right]^{b_{t}} \\ =& \left[ f ( p_{1}) \right]^{a_{1}} \cdots \left[ f ( p_{t}) \right]^{a_{t}} \left[ f ( p_{1}) \right]^{b_{1}} \cdots \left[ f ( p_{t}) \right]^{b_{t}} \\ =& \left[ f ( p_{1}^{a_{1}}) \right] \cdots \left[ f ( p_{t}^{a_{t}}) \right] \left[ f ( p_{1}^{b_{1}}) \right] \cdots \left[ f ( p_{t}^{b_{t}}) \right] \\ =& f \left( p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{t}^{a_{t}} \right) f \left( p_{1}^{b_{1}} \cdots p_{t}^{b_{t}} \right) \\ =& f(m)f(n) \end{align*} $$

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[5]

$(\Rightarrow)$

$g(n) := \mu (n) f(n)$ 이라고 하자.

$f$ 는 완전 승법적이고 $\displaystyle \sum_{d \mid n } \mu (d) = I(n)$ 이므로 $$ \begin{align*} (gf)(n) =& \sum_{d \mid n} \mu (d) f (d) f \left( {{ n } \over { d }} \right) \\ =& f(n) \sum_{d \mid n} \mu (d) \\ =& f(n) I(n) \end{align} $$ 정리 [1]에서 $f(1) = 1$ 이고 아이덴터티 함수 $I$ 는 $n > 1$ 에서 $I(n) = 0$ 이므로 $f(n) I(n) = I(n)$ 이다. 정리하면 $(g \ast\ f) (n) = I (n)$ 이므로 $g = f^{-1}$ 이다.

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$(\Leftarrow)$

임의의 소수 $p$ 와 자연수 $a \in \mathbb{N}$ 에 대해 $n = p^{a}$ 라고 두자.

$f^{-1} (n) := \mu (n) f (n)$ 이면 $$ \begin{align*} \sum_{d \mid n} \mu (d) f (d) f \left( {{ n } \over { d }} \right) =& \sum_{d \mid n} f^{-1} (d) f \left( {{ n } \over { d }} \right) \\ =& (f^{-1} \ast\ f ) (n) \\ =& I(n) \\ =& 0 \end{align*} $$

뫼비우스 함수의 정의: 소수 $p_{1} , \cdots , p_{k}$ 에 대해 자연수 $n$ 을 $n = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{k}^{a_{k}}$ 과 같이 나타낸다고 하자. 다음과 같이 정의된 산술 함수 $\mu$ 을 뫼비우스 함수라 한다. $$ \mu (n) := \begin{cases} 1 &, n=1 \\ (-1)^{k} &, a_{1} = \cdots = a_{k} = 1 \\ 0 & , \text{otherwise} \end{cases} $$

뫼비우스 함수의 정의에 따라 $k \ge 2$ 면 $\mu (p^{k} ) = 0$ 이므로 $$ \mu (1) f(1) f \left( p^{a} \right) + \mu (p) f(p) f \left( p^{a-1} \right) + 0 + \cdots + 0 = 0 $$ 전제에서 $f$ 는 승법적 함수였으므로 정리 [1]에 따라 $f(1) = 1$ 다. 한편 뫼비우스 함수는 $\mu (1) = 1$ 이고 $\mu (p) = -1$ 이므로 $$ 1 \cdot 1 \cdot f \left( p^{a} \right) + (-1) \cdot f(p) f \left( p^{a-1} \right) = 0 $$ 정리하면 $$ f \left( p^{a} \right) = f(p) f \left( p^{a-1} \right) $$ 재귀적으로 풀어보면 $f \left( p^{a} \right) = f(p)^{a}$ 이므로 정리 [4] 에 따라 $f$ 는 완전 승법적이다.

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[6]

$\gcd (m,n) = 1$ 이라고 하면 $m$ 의 약수들과 $n$ 의 약수들을 구분할 수 있다. 편의상 $a_{1} , \cdots, a_{M}$ 들이 $m$ 의 약수, $b_{1} , \cdots , b_{N}$ 들이 $n$ 의 약수라고 하면 $$ \begin{align*} F(mn) =& \sum_{d \mid mn} f(d) \\ =& f(1) + f(a_{1}) + \cdots + f (a_{M}) + f(b_{1}) + \cdots + f(b_{N}) \\ & + f(a_{1}b_{N}) + \cdots + f(a_{M} b_{1}) + \cdots + f(a_{1} a_{2} b_{N}) + \cdots + f(mn) \\ =& \sum_{a \mid m} f(a) \sum_{b \mid n} f(b) \\ =& F(m) F(n) \end{align*} $$

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