📂정수론

산술 함수의 아벨리안 그룹

정리 ¹

$f(1) \ne 0$ 이 아닌 산술 함수 들의 집합 $A = \left\{ f : \mathbb{N} \to \mathbb{C} \mid f(1) \ne 0 \right\}$ 과 이항 연산 $\ast$ 에 대해 $(A,*)$ 는 아벨리안 그룹이다.

설명

엄밀히 말하면 모든 산술 함수의 집합이 아벨리안 그룹이 될 수 있는 것은 아니다. 대수적 구조가 그룹이 되기 위한 마지막 조건인 역원의 존재성 때문인데, 다행스럽게도 그렇게 어려운 조건은 아니고 $f(1) \ne 0$ 이면 충분하다.

증명

모노이드 $\left< G, \ast\ \right>$ 의 원소 $a$ 와 항등원 $e$ 대해 $a \ast\ a’ = a’ \ast\ a = e$ 를 만족하는 $a '$ 가 존재하면 $\left< G, \ast\ \right>$를 군^group이라고 정의한다. 즉, 군은 아래의 성질들을 만족하는 이항연산구조다.

• (i): 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
• (ii): 모든 원소에 대해 항등원이 존재한다.
• (iii): 모든 원소에 대해 역원이 존재한다.

여기에, 다음의 조건을 추가적으로 만족시키면 아벨 군이라 한다.

• (iv): 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.

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Part (i), (iv). 결합 법칙과 교환 법칙

컨볼루션의 성질

• 결합 법칙: $\left( f \ast g \right) \ast k = f \ast (g \ast k)$
• 교환 법칙: $f \ast\ g = g \ast\ f$

모든 산술 함수는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족한다.

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Part (0). $\ast$ 에 대해 닫혀있음

$f,g \in A$ 고 $h = f \ast\ g$ 면 $f(1) \ne 0$ 이고 $g(1) \ne 0$ 이므로 $$h(1) = \left( f \ast g \right)(1) = \sum_{d \mid 1} f(d) g \left( {{ 1 } \over { d }} \right) = f(1)g(1) \ne 0$$ 따라서 $f \ast g = h \in A$ 이다.

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Part (ii). 항등원

아이덴터티: 다음과 같이 정의된 산술 함수 $I$ 를 아이덴터티 함수라고 한다. $$I(n) := \left[ {{ 1 } \over { n }} \right]$$

$I(1) = 1 \ne 0$ 이므로 $I \in A$ 이다. 모든 산술 함수에 대해 아이덴터티 $I$ 는 다음을 만족해서 $( A,*)$ 의 항등원으로써 존재한다. $$I \ast\ f = f \ast\ I = f$$

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Part (iii). 역원

컨볼루션에 대한 인버스: 산술 함수 $f$ 가 $f(1) \ne 0$ 면 그 인버스 $f^{-1}$ 가 유일하게 존재한다.

전제조건에서 $f(1) \ne 0$ 이므로 인버스 $f^{-1}$ 가 유일하게 존재한다.

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