📂확률분포론

푸아송 분포

정의 ¹

$\lambda > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 질량 함수를 가지는 이산 확률 분포 $\text{Poi} ( \lambda )$ 를 푸아송 분포^{poisson distribution}라고 한다. $$ p(x) = {{ e^{-\lambda} \lambda^{x} } \over { x! }} \qquad , x = 0 , 1 , 2, \cdots $$

기초 성질

적률 생성 함수

• [1]: $$m(t) = \exp \left[ \lambda \left( e^{t} - 1 \right) \right] \qquad , t \in \mathbb{R}$$

평균과 분산

• [2]: $X \sim \text{Poi}(\lambda)$ 면 $$ \begin{align*} E(X) =& \lambda \\ \operatorname{Var}(X) =& \lambda \end{align*} $$

충분통계량과 최대우도추정량

• [3]: 랜덤샘플 $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \text{Poi} \left( p \right)$ 이 주어져 있다고 하자.

$\lambda$ 에 대한 충분통계량 $T$ 와 최대우도추정량 $\hat{\lambda}$ 는 다음과 같다. $$ \begin{align*} T =& \sum_{k=1}^{n} X_{k} \\ \hat{\lambda} =& {{ 1 } \over { n }} \sum_{k=1}^{n} X_{k} \end{align*} $$

정리

이항분포의 극한분포로써 푸아송분포 유도

• [a]: $X_{n} \sim B(n,p)$이라고 하자.

$\mu \approx np$ 이면 $$ X_{n} \overset{D}{\to} \text{Poi} (\mu) $$

푸아송분포의 극한분포로써 표준정규분포 유도

• [b]: $X_{n} \sim \text{Poi} \left( n \right)$ 이고 $\displaystyle Y_{n} := {{ X_{n} - n } \over { \sqrt{n} }}$ 이면 $$ Y_{n} \overset{D}{\to} N(0,1) $$

설명

명명

푸아송 분포의 확률 질량 질량함수는 언뜻 복잡해 보이지만 사실 우리에게 친숙한 지수 함수의 급수 전개에서 나온 것이다. $$ e^{x} = 1 + {{ x } \over { 1 ! }} + {{ x^{2} } \over { 2! }} + {{ x^{3} } \over { 3! }} + \cdots $$ 모수 $x = \lambda$ 는 보통 고정되어있다고 가정되므로 양변을 상수 $e^{\lambda}$ 로 나누면 $$ 1 = {{ e^{-\lambda} \lambda^{0} } \over { 0! }} + {{ e^{-\lambda} \lambda^{1} } \over { 1! }} + {{ e^{-\lambda} \lambda^{2} } \over { 2! }} + {{ e^{-\lambda} \lambda^{3} } \over { 3! }} + \cdots $$ 따라서 (당연하게도) 푸아송 분포의 확률 질량 함수를 모두 더한 값은 $1$ 이 된다. 이렇듯 푸아송 분포는 이항 분포, 기하 분포, 음이항 분포와 달리 수식에서 그 이름을 따온 것이 아니다.

위대한 물리학자이자 수학자인 푸아송은 1837년 발표한 논문 형법과 민법 판결에서 확률에 대한 연구^{recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et en matiere civile}에서 단위 시간동안 관심을 갖는 사건이 일어날 확률이 특정한 분포를 따른다고 했다. 그 분포는 푸아송의 이름을 따서 푸아송 분포라 불리게 되었고, 아직도 수많은 확률 이론과 통계 기법에 푸아송의 이름이 붙어 있게 되었다.

평균과 분산이 같은 분포

다양한 응용 이전에 푸아송 분포는 그 자체로도 흥미로운 연구 대상이다. 푸아송 분포의 기본적인 성질 중 가장 눈에 띄는 것은 평균과 분산이 모수 $\lambda$ 라는 것이다.

지수분포와의 관계

한편 푸아송 분포와 지수 분포는 비슷한 현상에 관심을 가지지만 각각 단위 시간동안 사건의 발생 횟수, 사건이 발생때까지 걸리는 시간에 관심이 있다는 차이가 있다. 두 분포의 이러한 관계 때문에 몇몇 책에서 두 분포는 같은 그리스 문자 $\lambda$ 를 쓰기도 한다. 특히 푸아송 분포의 평균이 $\lambda$, 지수 분포의 평균이 $\displaystyle {{ 1 } \over { \lambda }}$ 이라는 점을 생각해보면 두 분포의 관계가 어떤 ‘역’ 비슷한 것이라고 받아들일 수 있다.

증명

[1]

$$ \begin{align*} m(t) =& \sum_{x=0}^{n} e^{tx} p(x) \\ =& \sum_{x=0}^{n} e^{tx} {{ \lambda^{x} e^{-\lambda} } \over { x! }} \\ =& e^{-\lambda} \sum_{x=0}^{n} {{ \left( e^{t}\lambda \right)^{x} } \over { x! }} \\ =& e^{-\lambda} e^{\lambda e^{t}} \\ =& \exp \left[ -\lambda + \lambda e^{t} \right] \\ =& \exp \left[ \lambda ( e^{t} - 1) \right] \end{align*} $$

■

[2]

직접연역한다.

■

[3]

직접 연역한다.

■

[a]

적률생성함수로 근사시킨다.

■

[b]

테일러 전개로 항을 버려 근사시킨다.

■

코드

다음은 푸아송분포의 확률질량함수를 움짤로 보여주는 줄리아 코드다.

@time using LaTeXStrings
@time using Distributions
@time using Plots

cd(@__DIR__)

x = 0:20
Λ = collect(1:0.1:10); append!(Λ, reverse(Λ))

animation = @animate for λ ∈ Λ
    scatter(x, pdf.(Poisson(λ), x),
     color = :black,
     label = "λ = $(round(λ, digits = 2))", size = (400,300))
    xlims!(0,10); ylims!(0,0.5); title!(L"\mathrm{pmf\,of\,Poi}(\lambda)")
end
gif(animation, "pmf.gif")