오일러 적분: 베타 함수와 감마 함수
정의
오일러 적분Euler integral 아래의 두 적분을 오일러 적분이라 부른다.
- $(a)$ 제1종 오일러 적분Euler integral of the first kind : 베타 함수 $$ B(p,q)=\int_{0}^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt,\quad p>0,\quad q>0 $$
- $(b)$ 제2종 오일러 적분Euler integral of the second kind : 감마 함수 $$ \Gamma (p) = \int_{0}^\infty t^{p-1}e^{-t}dt,\quad p>0 $$
설명
제1종 오일러 적분
1-1. 베타함수: 감마 함수를 팩토리얼의 일반화로 본다면 베타 함수는 이항 계수의 일반화로 볼 수 있다. $$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{ 1 }{ (n+1)B(n-k+1,k+1) } $$
1-2. 베타함수의 성질 $$ B(p,q)=B(q,p) $$ $$ B(p,q)=B(p+1,q)+B(p,q+1) $$ $$ B(p+1,q)=\frac{ p }{p+q}B(p,q),\quad B(p,q+1)=\frac{ q }{p+q }B(p,q) $$ $$ B(p,p)=\frac{ 1 }{ 2^{2p-1} }B(p,{\textstyle \frac{ 1 }{ 2 }}) $$
1-3. 베타함수의 여러가지 표현
$$ B(p,q)=\int_{0}^{a}\left( \frac{ t }{ a }\right)^{p-1} \left( 1-\frac{ t}{a}\right)^{q-1}\frac{ 1 }{a }dt=\frac{ 1 }{ a^{p+q-1} }\int_{0}^{a}t^{p-1}(a-t)^{q-1}dt $$ 베타함수의 정의에서 $t \rightarrow \dfrac{ t }{ a }$로 치환하면 바로 얻을 수 있다. $$ B(p,q)=2\int_{0}^{\pi/2}(\sin\theta)^{2p-1} (\cos \theta )^{2q-1}d\theta $$ $$ B(p,q)=\int_{0}^{\infty} \frac{ t^{p-1} }{(1+t)^{p+q}}dt $$ $$ B(p,q)=\frac{ \Gamma (p) \Gamma (q) }{ \Gamma (p+q) } $$
제2종 오일러 적분
2-1. 감마함수: 베타 함수를 이항 계수의 일반화로 본다면 감마 함수는 팩토리얼의 일반화로 볼 수 있다. $$ \Gamma (n)=(n-1)! $$
2-2. 감마함수의 성질 $$ \Gamma (p+1) = p \Gamma (p) $$ $$ \Gamma (p) \Gamma (1-p) = \frac{ \pi }{ \sin (\pi p) } $$ 이 외에도 감마함수가 포함된 여러 중요한 공식이 있다.