기저로부터 생성되는 위상
빌드업
위상
집합 $X$에 대해서 아래의 세 조건을 만족하는 $X$의 부분집합의 컬렉션 $\mathscr{T}$를 집합 $X$상의 위상 이라고 말한다.
- $(T1)$ $\varnothing, X \in \mathscr{T}$
- $(T2)$ $U_{\alpha} \in \mathscr{T} (\alpha \in \Lambda)$이면 $\bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_{\alpha} \in \mathscr{T}$이다.
- $(T3)$ $U_{1},\cdots,U_{n} \in \mathscr{T}$이면 $\bigcap_{i=1}^{n}U_{i} \in \mathscr{T}$이다.
간단히 말하자면 공집합과 전체집합을 가지면서 합집합과 가산교집합에 대해서 닫혀있는 부분집합의 컬렉션을 위상이라 한다.
기저
집합 $X$에 대해서 아래의 두 조건을 만족하는 $X$의 부분집합의 컬렉션 $\mathscr{B}$를 $X$상의 위상의 기저라고 말한다. 선형대수의 기저와 헷갈리지 않으면 보통 간단히 집합 $X$의 기저라고 말한다.
- $(B1)$ 모든 점 $x\in X$에 대해서 $x\in B$를 만족하는 $B\in \mathscr{B}$가 존재한다. 다시말해 $\bigcup_{B\in \mathscr{B}}B=X$를 만족한다.
- $(B2)$ 임의의 $B_{1}, B_2 \in \mathscr{B}$와 점 $x \in (B_{1}\cap B_{2})$에 대해서 $x\in B_{3} \subset (B_{1}\cap B_{2})$을 만족하는 $B_{3} \in \mathscr{B}$가 존재한다.
정의
$\mathscr{B}$를 집합 $X$의 기저라고 하자. 아래의 조건을 만족하는 $X$의 부분집합 $U$들의 컬렉션 $\mathscr{T}_\mathscr{B}$를 $\mathscr{B}$가 생성하는 $X$상의 위상이라고 한다. $$ \forall x \in U,\ \exists B\in \mathscr{B}\quad \text{s.t.}\ x\in B \subset U $$ 다시말해 $$ \mathscr{T}_\mathscr{B} =\left\{ U\subset X \ :\ \forall x \in U,\ \exists B\in \mathscr{B}\quad \text{s.t.}\ x\in B \subset U\right\} $$
정리
- $(0)$: $\mathscr{T}_\mathscr{B}$ 는 $X$ 상의 위상이다.
$\mathscr{B}$를 집합 $X$상의 기저라고 하자. 그러면 $\mathscr{T}_\mathscr{B}$는 아래와 같은 성질을 갖는다.
- $(a1)$: $\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$는 $\mathscr{B}$의 원소들의 합집합의 컬렉션과 같다. $$ \mathscr{T}_{\mathscr{B}}=\left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\} $$
- $(b1)$ $\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$는 $\mathscr{B}$를 포함하는 $X$상의 위상 중에서 가장 작다.
위상공간 $(X, \mathscr{T})$이 주어졌다고 하자. $\mathscr{B} \subset \mathscr{T}$에 대해서 아래의 두 사실은 동치이다.
- $(a2)$: $\mathscr{B}$가 $\mathscr{T}$의 기저이다. 다시말해 $\mathscr{T}=\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$이다.
- $(b2)$: 임의의 열린 집합 $U \in \mathscr{T}$와 점 $x \in U$에 대해서 $x \in B \subset U$를 만족하는 $B\in \mathscr{B}$가 존재한다.
설명
$\mathscr{B}$가 위상공간 $(X,\mathscr{T})$의 기저라는 것은 $\mathscr{T}=\mathscr{T}_\mathscr{B}$를 의미한다. $\mathscr{T}_\mathscr{B}$가 실제로 집합 $X$상의 위상이 됨을 확인할 수 있다.
교재에 따라 $(a1)$을 기저 $\mathscr{B}$의 정의로 소개할 수도 있다.
$(a2)$ 과 $(b2)$ 는 주어진 위상으로부터 기저를 찾는다. 그 위에서는 주어진 기저로 어떻게 위상을 생성하는지에 대해서 다루었는데, 반대로 아래에서는 위상이 주어졌을 때 이를 생성하는 기저를 어떻게 찾는가에 대해서 다룬다.
이를 근거로 유클리드공간 $\mathbb{R}^n$상의 기저를 오픈 볼들의 컬렉션으로 잡는다.
증명
$(0)$
$(T1)$
$x\in \varnothing$을 만족하는 $x$가 존재하지 않으므로 $\varnothing \in \mathscr{T}_\mathscr{B}$이다. $\mathscr{B}$가 $X$의 기저이므로 $(B1)$에 의해, 임의의 점 $x\in X$에 대하여 $x \in B \subset X$를 만족하는 $B \in \mathscr{B}$가 존재한다. 따라서 $X \in \mathscr{T}_\mathscr{B}$
$(T2)$
$U_\alpha \in \mathscr{T}_\mathscr{B}\ (\alpha \in \Lambda)$이라 하자. 임의의 점 $x \in \bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_\alpha$에 대하여, $x \in U_{\alpha_{0}}$인 $\alpha_{0} \in \Lambda$가 존재한다. $U_{\alpha_{0}} \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$이므로 $\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$의 정의에 의해 $x \in B \subset U_{\alpha_{0}}$를 만족하는 $B \in \mathscr{B}$가 존재한다. 따라서 $$ x \in B \subset U_{\alpha_{0}} \subset \bigcup_{\alpha \in \Lambda}U_{\alpha} $$ 이므로 $\bigcup_{\alpha \in \Lambda} U_{\alpha} \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$이다.$(T3)$ $U,V \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$라고 하자. 임의의 점 $x \in U \cap V$에 대하여 $x\in U$이고 $x \in V$이므로 $\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$의 정의에 의해 $$ x \in B_{1}\subset U,\quad x\in B_{2}\subset V $$ 를 만족하는 $B_{1}, B_{2}\in \mathscr{B}$가 존재한다. 또한 $x\in B_{1}\cap B_2$이므로 $(B2)$에 의해 $$ x \in B_{3} \subset B_{1}\cap B_2 \subset U\cap V $$ 를 만족하는 $B_{3} \in \mathscr{B}$가 존재한다. 따라서 $\mathscr{T}_\mathscr{B}$의 정의에 의해 $U \cap V \in \mathscr{T}_\mathscr{B}$이다.
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$(a1)$
$ \mathscr{T}_{\mathscr{B}} \supset \left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\} $$ \mathscr{B}$의 임의의 부분집합 $\mathscr{B}^{\ast} \subset \mathscr{B}$에 대해서 $U=\bigcup_{B\in \mathscr{B}^{\ast}} B$라고 하자. 그러면 임의의 $x \in U$에 대해서 $x\in B_{x} \in \mathscr{B}^{\ast}$가 존재한다. 그러면 $x \in B_{x} \subset U$이므로 $U \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$이다.$ \mathscr{T}_{\mathscr{B}} \subset \left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\} $$ U \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$라고 하자. 그러면 $\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$의 정의에 의해 $x \in U$에 대해서 $x \in B_{x} \subset U$를 만족하는 $B_{x} \in \mathscr{B}$가 존재한다. 따라서 $U$는 $U=\bigcup_{x\in U}B_{x}$와 같이 $\mathscr{B}$의 원소들의 합집합으로 표현되므로 $U \in \left\{ \bigcup_{B\in \mathscr{{B}}^{\ast}}B\ :\ \mathscr{B}^{\ast}\subset \mathscr{B} \right\}$
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$(b1)$
우선 $\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$가 $\mathscr{B}$를 포함한다는 것을 보이자. $B \in \mathscr{B}$라고 하자. 그러면 $x\in B$에 대해서 $x \in B \subset B$를 만족하는 $B \in \mathscr{B}$가 존재하므로 $B \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}}$이다. 따라서 $$ \mathscr{B} \subset \mathscr{T}_{\mathscr{B}} $$ $\mathscr{B}$를 포함하는 집합 $X$상의 위상 $\mathscr{T}$를 생각해보자. $\mathscr{B}^{\ast} \subset \mathscr{B}$에 대해서 $\mathscr{B}^{\ast} \subset \mathscr{B} \subset \mathscr{T}$이므로 위상의 정의 $(T1)$에 의해 $\bigcup_{B \in \mathscr{B}^{\ast}} B$도 $\mathscr{T}$의 원소이다. 따라서 $\mathscr{T}_{\mathscr{B}} \subset \mathscr{T}$이다. 즉 $\mathscr{B}$를 포함하는 위상 중에서 $\mathscr{T}_{\mathscr{B}}$가 가장 작다.
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$(a2) \iff (b2)$
$(a2) \implies (b2)$
$\mathscr{T}_{B}$의 정의에 의해 성립한다.
$(b2) \implies (a2)$
우선 $\mathscr{B}$가 $X$의 기저가 됨을 보이자.
- $(B1)$ 전체 집합 $X$도 열린 집합이므로, 임의의 점 $x \in X$에 대하여 $x \in B \subset X$인 $B \in \mathscr{B}$가 존재한다.
- $(B2)$ 임의의 $B_{1}, B_2 \in \mathscr{B}$와 $x \in B_{1} \cap B_{2}$에 대하여 $\mathscr{B} \subset \mathscr{T}$이므로 $B_{1}, B_{2} \in \mathscr{T}$이다. 위상의 정의 $(T2)$에 의해 $B_{1} \cap B_2 \in \mathscr{T}$이다. 그리고 $(b2)$에 의해 $x\in B_{3} \subset B_{1} \cap B_2$인 $B_{3} \in \mathscr{B}$가 존재하므로 기저의 조건을 만족한다.
이제 $\mathscr{B}$가 생성하는 위상 $\mathscr{T}$가 $\mathscr{T}$와 같음을 보이자.$U\in \mathscr{T}$라고 하자. 그러면 $(b2)$에 의해 각각의 점 $x \in U$에 대해서 $x \in B \subset U$를 만족하는 $B \in \mathscr{B}$가 존재한다. 그러므로 $\mathscr{T}_\mathscr{B}$의 정의 의해 $\mathscr{T} \subset \mathscr{T}_\mathscr{B}$이다. $(b1)$에 의해 $\mathscr{T}_\mathscr{B}$는 $\mathscr{B}$를 포함하는 가장 작은 위상이고 $\mathscr{B} \subset \mathscr{T}$이므로 $\mathscr{T}_\mathscr{B} \subset \mathscr{T}$이다. 따라서 $\mathscr{T}=\mathscr{T}_\mathscr{B}$이다.
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