스칼라 삼중곱
정의
다음과 같은 식을 스칼라 삼중곱scalar triple product이라 한다.
$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) $$
설명
스칼라 삼중곱은 벡터 3개를 곱하는 연산 중에서 결과가 스칼라인 것을 말한다. 결과가 벡터인 것은 벡터 삼중곱이라 한다. 결과가 스칼라로 나오기 위해서는 우선 두 벡터를 외적해서 나온 벡터와 다른 벡터를 내적해야한다.
아래의 교환가능한 성질에 의해, 다음과 같은 표기법도 쓰이며 이를 그라스만 기호1라 한다.
$$ \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = [\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}] = [\mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{C}] $$
평행육면체
스칼라 삼중곱의 크기는 세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피와 같다.
$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} )=|\mathbf{A}||\mathbf{B}\times \mathbf{C}| \cos\theta $$
$ |\mathbf{B} \times \mathbf{C}|$는 평행육면체 바닥의 넓이, $|\mathbf{A} \cos\theta|$는 높이이다. 즉, 스칼라 삼중곱은 바닥의 넓이와 높이의 곱이므로 육면체의 부피이다.
이 특징을 자세히 살펴보면 어떤 순서로 연산하더라도 같은 값이 나와야함을 알 수 있다. 왜냐하면 세 벡터가 만드는 평행육면체는 유일하기 때문이다. 따라서 다음의 식이 성립한다.
교환가능
스칼라 삼중곱의 값은 순환형태로cyclic 교환가능하다.
$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = \mathbf{B}\cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A} ) =\mathbf{C}\cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B} ) $$
레비-치비타 심볼을 사용해서 간단하게 증명할 수 있다.
$$ \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = A_{i} (B \times C)_{i} =A_{i} \epsilon_{ijk} B_{j}C_{k} =\epsilon_{ijk}A_{i}B_{j}C_{k} $$
$$ \mathbf{B} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A} ) = B_{i} (C \times A)_{i} =B_{i} \epsilon_{ijk} C_{j}A_{k} =\epsilon_{ijk}B_{i}C_{j}A_{k} $$
$$ \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B} ) = C_{i} (A \times B)_{i} =C_{i} \epsilon_{ijk} A_{j}B_{k} =\epsilon_{ijk}C_{i}A_{j}B_{k} $$
레비-치비타 심볼의 성질에 의해서 위의 세 식이 같은 값이라는 것을 알 수 있다. ABC든, BCA든, CAB든 순서만 맞으면 어떻게 계산해도 같은 값이다. 반대로 말하자면 순서가 다르면 다른 값이다. 연산에 포함된 외적의 결과가 벡터이므로 방향이 중요하기 때문이다.
$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) \neq \mathbf{A}\cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{B} ) $$
$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) \neq \mathbf{B}\cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{C} ) $$
스칼라 삼중곱은 행렬식의 모양으로도 나타낼 수 있다. 직교좌표계의 경우 다음과 같다.
$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = \epsilon_{ijk}A_{i}B_{j}C_{k}=\begin{vmatrix} A_{i} & A_{j} & A_{k} \\ B_{i}&B_{j}&B_{k} \\ C_{i}&C_{j}&C_{k} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x}&B_{y}&B_{z} \\ C_{x}&C_{y}&C_{z} \end{vmatrix} $$