부분공간위상, 상대위상
정의 1
위상공간 $(X,\mathscr{T})$와 부분집합 $A \subset X$가 주어졌다고 하자. 그러면 아래의 집합 $$ \mathscr{T}_{A} =\left\{ A\cap U\ :\ U\in \mathscr{T} \right\} $$ 는 $A$상의 위상이다. 이때 $\mathscr{T}_{A}$를 부분공간위상Subspace Topology혹은 상대위상이라 부른다. 또한 위상공간 $(A, \mathscr{T}_{A})$를 $(X,\mathscr{T})$의 부분공간Subspace이라 부른다.
정리
- [0]: 위상공간 $(X, \mathscr{T}$) 와 부분집합 $A \subset X$에 대해서 $$ \mathscr{T}_{A} = \left\{ A\cap U\ :\ U \in \mathscr{T}\right\} $$ 는 $A$상의 위상이 된다.
위상공간 $X$와 부분공간 $A$가 주어졌다고 하자. 부분공간 $A$에서 열린집합, 닫힌집합일 동치조건은 아래와 같다.
- [a1]: $V\subset A$가 $A$에서 열린집합일 필요충분조건은 $V= A\cap U$를 만족하는 $X$에서 열린집합 $U$가 존재하는 것이다.
- [b1]: $F\subset A$가 $A$에서 닫힌집할일 필요충분조건은 $F=A\cap E$를 만족하는 $X$에서 닫힌집합 $E$가 존재하는 것이다.
부분공간에서 열린(닫힌) 집합이라고해서 전체공간에서 열린(닫힌) 집합이라는 보장은 없다. 부분공간이 전체공간에 대해서 열린(닫힌) 집합이라면 그 성질이 전체공간에서도 보장된다. 위상공간 $(X,\mathscr{T})$와 부분공간 $(A,\mathscr{T}_{A})$, 부분집합 $B\subset A\subset X$가 주어졌다고 하자.
- [a2]: $B$가 부분공간 $A$에서 열린집합이고 $A$가 $X$에서 열린집합이면 $B$는 $X$에서 열린집합이다.
- [b2]: $B$가 부분공간 $A$에서 닫힌집합이고 $A$가 $X$에서 닫힌집합이면 $B$는 $X$에서 닫힌집합이다.
- [3]: $\mathscr{B}$를 위상공간 $(X,\mathscr{T})$의 기저라고 하자. 그러면 $$ \mathscr{B}_{A} =\left\{ A\cap B\ :\ B\in \mathscr{B} \right\} $$ 는 부분공간 $(A,\mathscr{T}_{A})$의 기저이다.
설명
헷갈리지 않게 몇가지 표기에 대해서 확실히 짚고 넘어가자. $(X,\mathscr{T})$가 전체 공간이고 $$ \mathscr{T}_{A}=\left\{A\cap U\ :\ U \in \mathscr{T} \right\} $$ 는 부분집합 $A$의 위상이다. 즉, 부분공간 $(A,\mathscr{T}_{A})$를 이룬다. $\mathscr{B}$는 전체집합 $X$의 기저이다. $\mathscr{B}_{A}$는 전체집합의 기저의 각각의 원소와 $A$의 교집합의 컬렉션이다. 이것이 부분집합 $A$의 기저가 된다는 것이 정리의 내용이다. $$ \mathscr{T}_{\mathscr{B}_{A}}=\left\{U_{A}\subset A\ :\ \forall\ x \in U_{A},\ \exists\ (A\cap B) \in \mathscr{B}_{A}\ \ \text{s.t.}\ x\in (A\cap B) \subset U_{A}\right\} $$ 더 나아가 $\mathscr{T}_{\mathscr{B}_{A}}$가 $\mathscr{T}_{A}$와 같다는 것이 핵심이다. 내용이 복잡하게 느껴질 수 있다. 정리해서 설명하면 다음과 같다.
- 전체공간 $X$의 기저의 원소와 $A$를 교집합한 것들을 모으면 $A$의 기저가 된다.
- 그 기저 $\mathscr{B}_{A}$로 생성한 위상은 $\mathscr{T}_{\mathscr{B}_{A}}$이다.
- 2에서 생성한 위상 $\mathscr{T}_{\mathscr{B}_{A}}$는 $X$의 열린집합들과 $A$를 교집합한 것들의 집합인 $\mathscr{T}_{A}$와 같다.
증명
[0]
- $(T1)$: $A \cap \varnothing =\varnothing$, $A \cap X=A$이므로 공집합과 전체집합이 $\mathscr{T}_{A}$에 속한다.
- $(T2)$: $V_\alpha \in \mathscr{T}_{A}( \alpha \in \Lambda)$라고 하자. $\mathscr{T}_{A}$의 정의에 의해 각각의 $V_\alpha$마다 $V_\alpha = A \cap U_\alpha$를 만족하는 $U_\alpha$가 존재한다. 위상의 정의에 의해 $U=\cup_{\alpha \in \Lambda} U_\alpha \in \mathscr{T}$이다. 그러면 $$ \bigcup_{\alpha \in \Lambda} V_\alpha = \bigcup_{\alpha \in \Lambda} (A \cap U_\alpha ) =A\cap (\cup_{\alpha \in \Lambda} U_\alpha ) =A\cap U \in \mathscr{T}_{A} $$ 이므로 $\bigcup _{\alpha \in \Lambda} V_\alpha \in \mathscr{T}_{A}$ 이다.
- $(T3)$: $V_{1},\ \cdots\ ,V_{n} \in \mathscr{T}_{A}$라고 하자. 위와 마찬가지로 각각의 $V_{i}$마다 $V_{i} =A \cap U_{i}$를 만족하는 $U_{i}$가 존재한다. 그리고 $U=\cap _{i} U_{i} \in \mathscr{T}$이므로 $$ \bigcap _{i=1}^n V_{i} = \bigcap_{i=1}^n (A\cap U_{i}) = A\cap \left( \bigcap_{i=1}^n U_{i} \right) =A\cap U \in \mathscr{T}_{A} $$ 이다. 따라서 $\bigcap_{i=1}^n V_{i} \in \mathscr{T}_{A}$ 이다.
위상의 조건 세가지를 만족하므로 $\mathscr{T}_{A}$는 $A$의 상의 위상이다.
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[a1]
거리공간에서의 증명을 참고하라. $\mathscr{T}_{A}$의 정의에 의해서 자명하다.
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[b1]
$(\implies)$ $F$가 $A$에서 닫힌 집합이므로 $A-F$는 $A$에서 열린집합이다. 그러면 [a1]에 의해 $A-F=A\cap U$를 만족하는 $X$에서 열린집합 $U$가 존재한다. $U$가 열린집합이므로 $E=X-U$는 $X$에서 닫힌집합이다. 그러면 $$ A\cap E=A\cap (X-U)=A-(A\cap U)=A-(A-F)=F $$
$(\Longleftarrow )$ $E$는 $X$에서 닫힌 집합이므로 $X-E$는 $X$에서 열린집합이다. 그러면 [a1]에 의해 $A \cap (X-E)$는 $A$에서 열린집합이다. $F^c=A-(A\cap E)=A\cap(X-E)$이므로 $F ^c$는 $A$에서 열린집합이다. 따라서 $F$는 $A$에서 닫힌 집합이다.
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[a2]
$B$가 $A$에서 열린집합이면 [a1]에 의해 $B=A\cap U\ (U\in \mathscr{T})$인 $X$에서 열린집합 $U$가 존재한다. 가정에 의해 $A$는 $X$에서 열린집합이다. 따라서 $B$는 $X$에서 열린집합의 교집합이므로 $X$에서 열린집합이다.
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[b2]
$B$가 $A$에서 닫힌집합이면 [b1]에 의해 $B=A\cap E$를 만족하는 $X$에서 닫힌집합 $E$가 존재한다. 가정에 의해 $A$는 $X$에서 닫힌집합이고 $B$는 닫힌집합끼리의 교집합이므로 $B$도 $X$에서 닫힌집합이다.
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[3]
Part 1. $\mathscr{B}_{A}$는 $A$의 기저이다.
[b1]: 임의의 $x\in A$에 대해서 $A\subset X$이므로 $x\in X$이다. $\mathscr{B}$가 $X$의 기저이므로 정의에의해 $x \in B \in \mathscr{B}$를 만족하는 $B$가 존재한다. 따라서 $x\in (A\cap B ) \in \mathscr{B}_{A}$인 $A\cap B \in \mathscr{B}_{A}$가 존재한다. [b2]: 임의의 $A\cap B_{1}$, $A\cap B_{2}$와 $x\in \Big( (A\cap B_{1} ) \cap (A \cap B_{2}) \Big)$에 대해서 $$ (A\cap B_{1})\cap (A \cap B_{2})=A\cap B_{1}\cap B_{2} $$ 이므로 $x\in (B_{1}\cap B_{2})$이다. $\mathscr{B}$가 $X$의 기저이므로 정의에 의해 $x\in B_{3} \subset ( B_{1}\cap B_{2})$인 $B_{3}$가 존재한다. 따라서 $$ x \in (A\cap B_{3})\subset \Big( A\cap (B_{1}\cap B_{2}) \Big)=(A\cap B_{1}) \cap (A\cap B_{2}) $$ 이다. 기저가 될 두가지 조건을 만족했으므로 $\mathscr{B}_{A}$는 부분집합 $A$의 기저이다.
Part 2. $\mathscr{T}_{\mathscr{B}_{A}}=\mathscr{T}_{A}$이다.
$(\subset)$ $\mathscr{B}$가 $(X,\mathscr{T})$의 기저이므로 $\mathscr{T}_{\mathscr{B}}=\mathscr{T}$이고, $\mathscr{B}\subset \mathscr{T_{\mathscr{B}}}=\mathscr{T}$이다. 그러므로 모든 $B \in \mathscr{B}$에 대해서, $B\in \mathscr{T}$이다. $\mathscr{T}_{A}$의 정의에 의해서 $A\cap B \in \mathscr{T}_{A}$이다. 따라서 $$ \mathscr{B}_{A} \subset \mathscr{T}_{A} $$ $\mathscr{T}_{\mathscr{B}_{A}}$는 $\mathscr{B}_{A}$를 포함하는 가장 작은 위상이므로 $$ \mathscr{T}_{\mathscr{B}_{A}} \subset \mathscr{T}_{A} $$
$(\supset )$ $V \in \mathscr{T}_{A}$라고 가정하자. [a1]에 의해서 $V=A\cap U$를 만족하는 $U\in \mathscr{T}$가 존재한다. 또한 $V$의 임의의 점 $x\in V \subset A$에 대해서 $x \in U$이다. $\mathscr{B}$는$\mathscr{T}$를 생성하는 기저이므로 $x\in B \subset U$인 $B\in \mathscr{B}$가 존재한다. 따라서 $A \cap B \in \mathscr{B}_{A}$가 $$ x\in (A\cap B) \subset (A\cap U) =V $$ 를 만족한다. 이는 $V$가 저 $\mathscr{B}_{A}$가 생성하는 $A$상의 위상 $\mathscr{T}_{\mathscr{B}_{A}}$에 속할 조건이므로 $V \in \mathscr{T}_{\mathscr{B}_{A}}$이다. 그러므로 $$ \mathscr{T}_{\mathscr{B}_{A}} \supset \mathscr{T}_{A} $$
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Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p89. ↩︎