프리컴팩트 확률 과정
정리
가측 공간 $(S, \mathcal{S})$ 에서 $(S ', \mathcal{S} ')$ 로 가는 연속함수들을 모아놓은 함수공간을 $\mathscr{H}:= C \left( S,S’ \right)$와 같이 두고 $\left\{ h^{-1}(A’): h \in \mathscr{H} , A ' \in \mathcal{S} ' \right\}$ 가 $(S , \mathcal{S})$ 의 세퍼레이팅 클래스라고 하자. $X$ 는 $S$ 에서 정의된 확률 원소, $\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 은 $S$ 에서 정의된 확률 과정이다.
만약
- (i) $\left\{ X_{n} \right\}$ 은 프리 컴팩트다.
- (ii) 모든 $h \in \mathscr{H}$ 에 대해 $h \left( X_{n} \right) \overset{D}{\to} h(X)$
면, $X_{n} \overset{D}{\to} X$ 이다.
설명
연속 사상 정리가 $X_{n} \overset{D}{\to} X \implies h(X_{n}) \overset{D}{\to} h(X)$ 임을 보이기 위해서 $P(X \in C_{h})=1$ 라는 조건을 필요로 했듯 그 역을 보이기 위해서는 프리컴팩트라는 조건이 필요하다.
증명
가정 (i)에서 확률 과정 $\left\{ X_{n} \right\}$ 이 프리컴팩트라는 것은 모든 서브시퀀스 $\left\{ X_{n '} \right\} \subset \left\{ X_{n} \right\}$ 에 대해 어떤 $Y \in S$ 로 수렴하는 서브시퀀스의 서브시퀀스 $$\left\{ X_{n ''} \right\} \subset\left\{ X_{n '} \right\} \subset \left\{ X_{n} \right\}$$ 가 존재한다는 것이다. 다시 말해 $X_{n ''} \overset{D}{\to} Y$ 를 만족하는 $Y \in S$ 와 $\left\{ X_{n ''} \right\}$ 이 존재하고, 그러면 모든 $h \in \mathscr{H}$ 에 대해 $$h \left( X_{n ''} \right) \overset{D}{\to} h \left( Y \right)$$ 고, 가정 (ii)에서 $h \left( X_{n} \right) \overset{D}{\to} h(X)$ 이었으므로 $$h \left( X_{n ''} \right) \overset{D}{\to} h \left( X \right)$$ 다. 한편 $\left\{ h^{-1}(A’): h \in \mathscr{H} , A ' \in \mathcal{S} ' \right\}$ 는 세퍼레이팅 클래스로 두었으므로 모든 $A \in \mathcal{S} ' $ 와 $h \in \mathscr{H}$ 에 대해 $$ \begin{align*} & h(X) \overset{D}{=} h(Y) \\ \iff & P \left( X \in h^{-1}(A) \right) = P \left( Y \in h^{-1}(A) \right) \\ \iff & P \circ X^{-1} = P \circ Y^{-1} \qquad \text{, on }\left\{ h^{-1}(A’): h \in \mathscr{H} , A ' \in \mathcal{S} ' \right\} \\ \color{red}{\iff}& P \circ X^{-1} = P \circ Y^{-1} \qquad \text{, on } (S,\mathcal{S}) \\ \iff &X \overset{D}{=} Y \end{align*} $$
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