logo

프리컴팩트 확률 과정 📂확률론

프리컴팩트 확률 과정

정리

가측 공간 (S,S)(S, \mathcal{S}) 에서 (S′,S′)(S ', \mathcal{S} ') 로 가는 연속함수들을 모아놓은 함수공간을 H:=C(S,S’)\mathscr{H}:= C \left( S,S’ \right)와 같이 두고 {h−1(A’):h∈H,A′∈S′}\left\{ h^{-1}(A’): h \in \mathscr{H} , A ' \in \mathcal{S} ' \right\} 가 (S,S)(S , \mathcal{S}) 의 세퍼레이팅 클래스라고 하자. XX 는 SS 에서 정의된 확률 원소, {Xn}n∈N\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 은 SS 에서 정의된 확률 과정이다.

만약

  • (i) {Xn}\left\{ X_{n} \right\} 은 프리 컴팩트다.
  • (ii) 모든 h∈Hh \in \mathscr{H} 에 대해 h(Xn)→Dh(X)h \left( X_{n} \right) \overset{D}{\to} h(X)

면, Xn→DXX_{n} \overset{D}{\to} X 이다.

설명

연속 사상 정리가 Xn→DX  ⟹  h(Xn)→Dh(X)X_{n} \overset{D}{\to} X \implies h(X_{n}) \overset{D}{\to} h(X) 임을 보이기 위해서 P(X∈Ch)=1P(X \in C_{h})=1 라는 조건을 필요로 했듯 그 역을 보이기 위해서는 프리컴팩트라는 조건이 필요하다.

증명

가정 (i)에서 확률 과정 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} 이 프리컴팩트라는 것은 모든 서브시퀀스 {Xn′}⊂{Xn}\left\{ X_{n '} \right\} \subset \left\{ X_{n} \right\} 에 대해 어떤 Y∈SY \in S 로 수렴하는 서브시퀀스의 서브시퀀스 {Xn′′}⊂{Xn′}⊂{Xn}\left\{ X_{n ''} \right\} \subset\left\{ X_{n '} \right\} \subset \left\{ X_{n} \right\} 가 존재한다는 것이다. 다시 말해 Xn′′→DYX_{n ''} \overset{D}{\to} Y 를 만족하는 Y∈SY \in S 와 {Xn′′}\left\{ X_{n ''} \right\} 이 존재하고, 그러면 모든 h∈Hh \in \mathscr{H} 에 대해 h(Xn′′)→Dh(Y)h \left( X_{n ''} \right) \overset{D}{\to} h \left( Y \right) 고, 가정 (ii)에서 h(Xn)→Dh(X)h \left( X_{n} \right) \overset{D}{\to} h(X) 이었으므로 h(Xn′′)→Dh(X)h \left( X_{n ''} \right) \overset{D}{\to} h \left( X \right) 다. 한편 {h−1(A’):h∈H,A′∈S′}\left\{ h^{-1}(A’): h \in \mathscr{H} , A ' \in \mathcal{S} ' \right\} 는 세퍼레이팅 클래스로 두었으므로 모든 A∈S′A \in \mathcal{S} ' 와 h∈Hh \in \mathscr{H} 에 대해 h(X)=Dh(Y)  ⟺  P(X∈h−1(A))=P(Y∈h−1(A))  ⟺  P∘X−1=P∘Y−1, on {h−1(A’):h∈H,A′∈S′}  ⟺  P∘X−1=P∘Y−1, on (S,S)  ⟺  X=DY \begin{align*} & h(X) \overset{D}{=} h(Y) \\ \iff & P \left( X \in h^{-1}(A) \right) = P \left( Y \in h^{-1}(A) \right) \\ \iff & P \circ X^{-1} = P \circ Y^{-1} \qquad \text{, on }\left\{ h^{-1}(A’): h \in \mathscr{H} , A ' \in \mathcal{S} ' \right\} \\ \color{red}{\iff}& P \circ X^{-1} = P \circ Y^{-1} \qquad \text{, on } (S,\mathcal{S}) \\ \iff &X \overset{D}{=} Y \end{align*}

■