logo

두 벡터의 내적과 사잇각의 관계 📂수리물리

두 벡터의 내적과 사잇각의 관계

정리

두 벡터 a=(a1,a2,a3)\mathbf{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})b=(b1,b2,b3)\mathbf{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) 사이의 각도를 θ\theta라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

ab=abcosθ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta

이때 ab\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}는 두 벡터의 점곱(내적)이다.

따름 정리

영벡터가 아닌 두 벡터 a\mathbf{a}, b\mathbf{b}가 서로 수직할 필요충분조건은 다음과 같다.

ab=0 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0

증명

아래의 그림을 보자. 벡터 a\mathbf{a}b\mathbf{b}, 그리고 ab\mathbf{a} - \mathbf{b}는 삼각형을 이룬다.

이제 이 삼각형에 코사인 제2법칙을 적용하면 다음을 얻는다.

a2+b22abcosθ=ab2 |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = | \mathbf{a} - \mathbf{b} |^2

위 식은 내적의 성질 aa=a2\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = | \mathbf{a} |^{2}에 의해서 다시 다음과 같다.

aa+bb2abcosθ=(ab)(ab)=aa2ab+bb \begin{align*} \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta &= (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \\ &= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \end{align*}

공통된 항을 소거하면 다음을 얻는다.

ab=abcosθ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta

따름정리 증명

()(\Longrightarrow)

a\mathbf{a}b\mathbf{b}가 수직이라고 하자. 그러면,

ab=abcosπ2=0 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \frac{\pi}{2} = 0

()(\Longleftarrow)

ab=0\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0이라고 하자. 그러면,

abcosθ=0 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = 0

a\mathbf{a}b\mathbf{b}는 영벡터가 아니므로 a0|\mathbf{a}| \ne 0, b0|\mathbf{b}| \ne 0이다. 따라서

cosθ=0    θ=π2 \cos\theta = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{2}