두 벡터의 내적과 사잇각의 관계
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정리
두 벡터 a=(a1,a2,a3)와 b=(b1,b2,b3) 사이의 각도를 θ라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
이때 a⋅b는 두 벡터의 점곱(내적)이다.
따름 정리
영벡터가 아닌 두 벡터 a, b가 서로 수직할 필요충분조건은 다음과 같다.
a⋅b=0
증명
아래의 그림을 보자. 벡터 a와 b, 그리고 a−b는 삼각형을 이룬다.

이제 이 삼각형에 코사인 제2법칙을 적용하면 다음을 얻는다.
∣a∣2+∣b∣2−2∣a∣∣b∣cosθ=∣a−b∣2
위 식은 내적의 성질 a⋅a=∣a∣2에 의해서 다시 다음과 같다.
a⋅a+b⋅b−2∣a∣∣b∣cosθ=(a−b)⋅(a−b)=a⋅a−2a⋅b+b⋅b
공통된 항을 소거하면 다음을 얻는다.
a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
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따름정리 증명
(⟹)
a와 b가 수직이라고 하자. 그러면,
a⋅b=∣a∣∣b∣cos2π=0
(⟸)
a⋅b=0이라고 하자. 그러면,
∣a∣∣b∣cosθ=0
a와 b는 영벡터가 아니므로 ∣a∣=0, ∣b∣=0이다. 따라서
cosθ=0⟹θ=2π
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