폴란드 공간에서 정의되는 확률 측도는 타이트하다
정리
거리 공간 $(S,\rho)$ 가 폴란드 공간이라고 하자. $S$ 에서 정의되는 모든 확률 측도는 타이트하다.
설명
폴란드 공간이란 가분 완비인 거리 공간을 말한다. 확률 측도의 타이트함이라는 것을 논할 때 어지간한 확률이 죄다 타이트한 것이 바로 이 때문이다. 물론 이는 거꾸로 말해 더 나아가 폴란드 공간이 아닌 곳에서 정의된 확률들을 연구해야함을 의미하기도 한다.
증명
전략: 타이트 확률 측도의 정의에 따를 수 있도록 위상수학의 몇가지 정리를 가져올 수 있어야한다.
타이트 확률 측도의 정의공간 $S$ 가 거리 공간 $( S , \rho)$ 이면서 가측 공간 $(S,\mathcal{B}(S))$ 이라고 하자.
$P$ 가 $S$ 에서 정의된 확률 측도라고 하자. 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $P(K) > 1 - \varepsilon$ 가 되도록하는 컴팩트 셋이 존재하면 $P$ 가 타이트 하다고 한다.
또 노테이션으로써 거리 $\rho$ 가 주어져 있을 때 중심이 $x_{0}$ 이고 반경이 $\varepsilon$ 인 오픈 볼을 $B_{\rho} ( x_{0} ; \varepsilon )$, 클로즈드 볼을 $B_{\rho} [ x_{0} ; \varepsilon]$ 와 같이 나타낸다.
$S$ 는 가분 공간이므로 $S$ 의 조밀한 가산 집합 $D:= \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots \right\}$ 을 잡을 수 있다. 모든 $\delta > 0$ 에 대해 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{\rho} \left( a_{k} ; \delta \right) = S$ 이고, 측도의 연속성에 따라 $\displaystyle P(S) = \lim_{n \to \infty} P \left( \bigcup_{k=1}^{n} B_{\rho} \left( a_{k} ; \delta \right) \right)$ 이다. 이제 $\varepsilon>0$ 이라고 하면 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 다음을 만족하는 $n_{m}$ 이 존재한다. $$ P \left( \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left( a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right) \right) > P(S) - 2^{-m}\varepsilon $$ 이제 다음과 같이 $K \subset S$ 를 정의하자. $$ K := \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] $$ $K$ 는 [클로즈드 볼들의 유한 합집합에 무한 교집합을 취해서 얻은 집합](../382)이므로 $S$ 에서 클로즈드 셋이고, 모든 $\delta$ 에 대해 $m > 1 / \delta$ 가 되도록 $m$ 을 선택하면 $$ K \subset \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \subset \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left( a_{k} ; \delta \right) $$ 즉 $K$ 는 완전 유계 공간이다.
완비 거리 공간의 성질: $K$ 는 완전 유계 공간 $\iff$ $X$ 에서 닫힌 집합 $K$ 는 컴팩트
따라서 클로즈드 셋 $K$ 는 컴팩트고, 확률 측도 $P$ 의 성질에 따라 $$ \begin{align*} P(S \setminus K) =& P \left( \bigcup_{m=1}^{\infty} \left( S \setminus \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \right) \right) \\ =& \sum_{m=1}^{\infty} P \left( S \setminus \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \right) \\ =& \sum_{m=1}^{\infty} \left[ P \left( S \right) - P \left( \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \right) \right] \\ <& \sum_{m=1}^{\infty} 2^{-m} \varepsilon \\ =& \varepsilon \end{align*} $$
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