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폴란드 공간에서 정의되는 확률 측도는 타이트하다 📂확률론

폴란드 공간에서 정의되는 확률 측도는 타이트하다

정리

거리 공간 (S,ρ)(S,\rho) 가 폴란드 공간이라고 하자. SS 에서 정의되는 모든 확률 측도는 타이트하다.

설명

폴란드 공간이란 가분 완비인 거리 공간을 말한다. 확률 측도의 타이트함이라는 것을 논할 때 어지간한 확률이 죄다 타이트한 것이 바로 이 때문이다. 물론 이는 거꾸로 말해 더 나아가 폴란드 공간이 아닌 곳에서 정의된 확률들을 연구해야함을 의미하기도 한다.

증명

전략: 타이트 확률 측도의 정의에 따를 수 있도록 위상수학의 몇가지 정리를 가져올 수 있어야한다.

타이트 확률 측도의 정의공간 SS 가 거리 공간 (S,ρ)( S , \rho) 이면서 가측 공간 (S,B(S))(S,\mathcal{B}(S)) 이라고 하자.

PP 가 SS 에서 정의된 확률 측도라고 하자. 모든 ε>0\varepsilon > 0 에 대해 P(K)>1−εP(K) > 1 - \varepsilon 가 되도록하는 컴팩트 셋이 존재하면 PP 가 타이트 하다고 한다.

또 노테이션으로써 거리 ρ\rho 가 주어져 있을 때 중심이 x0x_{0} 이고 반경이 ε\varepsilon 인 오픈 볼을 Bρ(x0;ε)B_{\rho} ( x_{0} ; \varepsilon ), 클로즈드 볼을 Bρ[x0;ε]B_{\rho} [ x_{0} ; \varepsilon] 와 같이 나타낸다.

SS 는 가분 공간이므로 SS 의 조밀한 가산 집합 D:={a1,a2,⋯ }D:= \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots \right\} 을 잡을 수 있다. 모든 δ>0\delta > 0 에 대해 ⋃k=1∞Bρ(ak;δ)=S\displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{\rho} \left( a_{k} ; \delta \right) = S 이고, 측도의 연속성에 따라 P(S)=lim⁡n→∞P(⋃k=1nBρ(ak;δ))\displaystyle P(S) = \lim_{n \to \infty} P \left( \bigcup_{k=1}^{n} B_{\rho} \left( a_{k} ; \delta \right) \right) 이다. 이제 ε>0\varepsilon>0 이라고 하면 모든 m∈Nm \in \mathbb{N} 에 대해 다음을 만족하는 nmn_{m} 이 존재한다. P(⋃k=1nmBρ(ak;1m))>P(S)−2−mε P \left( \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left( a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right) \right) > P(S) - 2^{-m}\varepsilon 이제 다음과 같이 K⊂SK \subset S 를 정의하자. K:=⋂m=1∞⋃k=1nmBρ[ak;1m] K := \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] KK 는 [클로즈드 볼들의 유한 합집합에 무한 교집합을 취해서 얻은 집합](../382)이므로 SS 에서 클로즈드 셋이고, 모든 δ\delta 에 대해 m>1/δm > 1 / \delta 가 되도록 mm 을 선택하면 K⊂⋃k=1nmBρ[ak;1m]⊂⋃k=1nmBρ(ak;δ) K \subset \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \subset \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left( a_{k} ; \delta \right) 즉 KK 는 완전 유계 공간이다.

완비 거리 공간의 성질: KK 는 완전 유계 공간   ⟺  \iff XX 에서 닫힌 집합 KK 는 컴팩트

따라서 클로즈드 셋 KK 는 컴팩트고, 확률 측도 PP 의 성질에 따라 P(S∖K)=P(⋃m=1∞(S∖⋃k=1nmBρ[ak;1m]))=∑m=1∞P(S∖⋃k=1nmBρ[ak;1m])=∑m=1∞[P(S)−P(⋃k=1nmBρ[ak;1m])]<∑m=1∞2−mε=ε \begin{align*} P(S \setminus K) =& P \left( \bigcup_{m=1}^{\infty} \left( S \setminus \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \right) \right) \\ =& \sum_{m=1}^{\infty} P \left( S \setminus \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \right) \\ =& \sum_{m=1}^{\infty} \left[ P \left( S \right) - P \left( \bigcup_{k=1}^{n_{m}} B_{\rho} \left[ a_{k} ; {{ 1 } \over { m }} \right] \right) \right] \\ <& \sum_{m=1}^{\infty} 2^{-m} \varepsilon \\ =& \varepsilon \end{align*}

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