📂위상수학

위상공간에서의 내부에 대한 여러 동치 조건들

정의 ¹

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 부분공간 $A$가 주어졌다고 하자. $A$에 포함되는 모든 열린집합들의 합집합을 $A$의 내부^Interior라고 하고 $A^{\circ}$ 혹은 $\mathrm{int}(A)$로 나타낸다. $$A^{\circ} = \cup \left\{ U \in \mathcal{T} \ :\ U \subset A\right\}$$ 또한 $x \in X$에 대해서 $x \in U \subset A$를 만족하는 열린집합 $U$가 존재하면 $x$를 $A$의 내부점이라고 하고 $x \in A^{\circ}$로 나타낸다.

설명

내부의 정의를 생각해보면 내부점의 정의는 매우 당연하다. 위상의 정의에 의해서 열린집합들의 합집합은 열린집합이므로 $A^{\circ }$은 $A$에 포함되는 가장 큰 열린집합이다.

예시

집합 $X=\left\{ a,b,c,d\right\}$에 위상 $$\mathcal{T}=\left\{ \varnothing, \left\{ a \right\}, \left\{a,b\right\}, \left\{c,d\right\}, \left\{ a,c,d\right\}, X \right\}$$ 와 부분집합 $A= \left\{ a,b,c \right\}$가 주어졌다고 하자. $a,b,c,d$가 각각 $A$의 내점인지 아닌지 알아보면$(1)$ $a\in \left\{a \right\} \subset A$이므로 $a\in A^{\circ}$이다.$(2)$ $b \in \left\{ a,b\right\} \subset A$이므로 $b \in A^{\circ}$이다.$(3)$ $c \in A$지만 $c \in \left\{ c,d\right\} \not \subset A$, $c \in \left\{ a,c,d\right\} \not \subset A$이므로 $c$는 내점이 아니다. $c \notin A^{\circ}$.$(4)$ $d \notin A$이므로 내점이 아니다. $d \notin A^{\circ}$.$A^{\circ}$은 $A$가 포함하는 가장 큰 열린집합임을 이용해서 구할 수도 있다. $$A^{\circ}=\left\{ a,b\right\}$$

정리

• [1]: 위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분집합 $A$에 대해서 아래의 세 조건이 동치이다.
  • $(a1)$ $A$는 열린집합이다.
  • $(b1)$ $A=A^{\circ }$
  • $(c1)$ $A$의 모든 점은 $A$의 내부점이다. 다시말해 모든 $x \in A$에 대해서 $x \in U_{x} \subset A$인 열린집합 $U_{x}$가 존재한다.
• [2]: 위상공간 $(X,\mathcal{T} )$의 기저 $\mathcal{B}$와 부분집합 $A \subset X$가 주어졌다고 하자. 아래의 두 조건은 동치이다.
  • $(a2)$ $x\in A^{\circ}$이다.
  • $(b2)$ $x\in B \subset A$인 $B \in \mathcal{B}$가 존재한다.

거리공간에 대해서는 아래와 같이 표현할 수 있다.

• [3]: 거리공간 $(X,d)$와 부분집합 $A \subset X$가 주어졌다고 하자. 아래의 두 조건은 동치이다.
  • $(a3)$ $x \in A^{\circ}$이다.
  • $(b3)$ $B_{d}(x,r)\subset A$를 만족하는 $r>0$이 존재한다.

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• $B_{d}(x,r)$은 거리공간 $(X,d)$에서 중점이 $x$이고 반지름이 $r$인 오픈볼을 의미한다.

증명

[1]

$(a1) \implies (b1)$

$A^{\circ}$은 $A$에 포함되는 열린집합중 가장 큰 집합이므로 $A$가 열린집합이면 $A=A^{\circ }$

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$(b1) \implies (c1)$

자명하다.

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$(c1) \implies (a1)$

$A=\bigcup \nolimits_{x\in A}U_{x}$이고 열린집합들의 합집합은 열린집합이므로 $A$는 열린집합이다.

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[2]

$(a2) \implies (b2)$

내부점의 정의에 의해 $x\in U \subset A$를 만족하는 열린집합 $U\in \mathcal{T}$가 존재한다. 또한 기저의 정의에 의해서 $x \in B \subset U$를 만족하는 $B \in \mathcal{B}$가 존재한다. 따라서 $x\in B \subset A$ 이다.

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$(b2) \implies (a2)$

$\mathcal{B} \in \mathcal{T}$이므로 $B$는 $x$를 원소로 가지는 열린집합이다. 따라서 $x$는 내부점이다.

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[3]

거리공간 $(X,d)$의 기저와 위상은 각각 아래와 같이 주어진다. $$\mathcal{B}_{d}=\left\{B_{d}(x,r)\ :\ x\in X,\ 0<r \in \mathbb{R} \right\}$$ $$\mathcal{T}_{d}=\left\{ U\subset X\ :\ \forall x\in U,\ \exists r_{x}>0 \ \text{s.t.}\ x\in B_{d}(x,r_{x})\subset U\right\}$$ 따라서 정리 2에 의해서 성립한다.

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