분리벡터의 크기의 그래디언트
공식
분리벡터 $\bcR$의 크기의 $n$ 제곱, $\cR ^{n}$의 그래디언트는 다음과 같다.
$$ \nabla (\cR^n)=n\cR^{n-1}\crH $$
설명
다항함수의 미분과 같은 방식으로 계산한 뒤에 단위벡터인 $\crH$만 붙여주면 된다.
분리벡터는 $\bcR=\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}$이므로 $(x,y,z)$와 $(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$를 변수로 가진다. 따라서 미분할 때 이에 주의해야 한다. 윗첨자가 없는 좌표와 있는 좌표에 대한 그래디언트를 아래와 같이 나타내겠다.
$$ \begin{align*} \nabla f&= \dfrac{\partial f}{\partial x}\hat {\mathbf{x}} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \hat{\mathbf{y}} + \dfrac{\partial f} {\partial z} \hat{\mathbf{z}} \\ \nabla^{\prime} f&= \dfrac{\partial f}{\partial x^{\prime}}\hat {\mathbf{x}} + \dfrac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \hat{\mathbf{y}} + \dfrac{\partial f} {\partial z^{\prime}} \hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$
직교 좌표계에서 분리벡터는 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \bcR &= (x-x^{\prime})\hat {\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z^{\prime})\hat{\mathbf{z}} \\ \cR &= \sqrt{ (x-x^{\prime})^{2} + (y-y^{\prime})^{2} + (z-z^{\prime})^{2} } \\ \crH &= \dfrac{ (x-x^{\prime})\hat {\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z^{\prime})\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{ (x-x^{\prime})^{2} + (y-y^{\prime})^{2} + (z-z^{\prime})^{2} }} \end{align*} $$
$n=2$, $n=-1$인 경우의 결과를 먼저 살펴보고 일반적인 경우에 대해서 증명하겠다. 식이 너무 긴 경우에는 같은 부분을 빨간색 대괄호 ${\color{red}[ \ \ ]}$로 표시하여 생략하였다.
증명
$\nabla \cR^{2} = 2\bcR=2\cR\crH$
$$ \begin{align*} \nabla(\cR ^{2}) =&\ \frac{\partial }{\partial x} {\color{red} \left[ (x-x^{\prime})^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z^{\prime})^{2} \right]} \hat{\mathbf{x}} +\frac{\partial }{\partial y}{\color{red}[ \ \ ]}\hat{\mathbf{y}} +\frac{\partial }{\partial z}{\color{red}[ \ \ ]}\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 2(x-x^{\prime})\hat{\mathbf{x}}+2(y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}}+2(z-z^{\prime})\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 2 \left( (x-x^{\prime})\hat {\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} + (z-z^{\prime})\hat{\mathbf{z}} \right) \\ =&\ 2\bcR \\ =&\ 2\cR\crH \end{align*} $$
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$\nabla \dfrac{1}{\cR} = -\dfrac{1}{\cR^{2}}\crH$
$$ \begin{align*} \nabla \dfrac{1}{\cR} &= \dfrac{\partial }{\partial x} {\color{red} \left[ (x-x^{\prime})^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z^{\prime})^{2} \right]}^{-\frac{1}{2}} \hat{\mathbf{x}} +\dfrac{\partial }{\partial y}{\color{red}[ \ \ ]}^{-\frac{1}{2}} \hat{\mathbf{y}} +\dfrac{\partial }{\partial z}{\color{red}[ \ \ ]}^{-\frac{1}{2}} \hat{\mathbf{z}} \\ &= -\frac{1}{2}\dfrac{2(x-x^{\prime})}{ {\color{red} \left[(x-x^{\prime})^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z^{\prime})^{2} \right]}^{\frac{3}{2}} }\hat{\mathbf{x}} - \frac{1}{2}\dfrac{2(y-y^{\prime})}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{3}{2}} } \hat{\mathbf{y}} -\frac{1}{2}\dfrac{2(z-z^{\prime})}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{3}{2}} } \\ &= -\dfrac{1}{ {\color{red} \left[(x-x^{\prime})^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z^{\prime})^{2} \right]} } \left[ \dfrac{(x-x^{\prime})}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{1}{2}} } \hat{\mathbf{x}} + \dfrac{(y-y^{\prime})}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{1}{2}} } \hat{\mathbf{y}} + \dfrac{(z-z^{\prime})}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{1}{2}} } \right] \\ &= -\dfrac{1}{ {\color{red}\cR^{2}} } \left[ \dfrac{(x-x^{\prime})}{ {\color{red} \left[ (x-x^{\prime})^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z^{\prime})^{2} \right]} ^{\frac{1}{2}}} \hat{\mathbf{x}} + \dfrac{(y-y^{\prime})}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{1}{2}}} \hat{\mathbf{y}} +\dfrac{(z-z^{\prime})}{ {\color{red}[ \ \ ]}^{\frac{1}{2}}} \hat{\mathbf{z}} \right] \\ &= -\dfrac{1}{\cR^{2}} \dfrac{ (x-x^{\prime})\hat{\mathbf{x}} + (y-y^{\prime})\hat{\mathbf{y}} +(z-z^{\prime})\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{(x-x^{\prime})^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z^{\prime})^{2}}} \\ &= -\dfrac{1}{\cR^{2}}\crH \end{align*} $$
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$\nabla (\cR^n)=n\cR^{n-1}\crH $
$$ \begin{align*} \nabla (\cR^n) &= \frac{\partial}{\partial x}(\cR^n)\hat{\mathbf{x}}+ \frac{\partial}{\partial y}(\cR^n)\hat{\mathbf{y}}+\frac{\partial}{\partial z}(\cR^n)\hat{\mathbf{z}} \\ &= \frac{\partial}{\partial \cR}(\cR^n)\frac{\partial \cR}{\partial x}\hat{\mathbf{x}}+ \frac{\partial}{\partial \cR}(\cR^n)\frac{\partial \cR}{\partial y}\hat{\mathbf{y}}+\frac{\partial}{\partial \cR}(\cR^n)\frac{\partial \cR}{\partial z}\hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$
두번째 등호는 연쇄 법칙에 의해 성립한다. 이 때 아래의 식이 성립한다.
$$ \begin{align*} \frac{\partial \cR}{\partial x} &=\frac{\partial }{\partial x}[(x-x^{\prime})^{2} + (y-y^{\prime})^{2} +(z-z^{\prime})^{2})]^{\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{2}[2(x-x^{\prime})][(x-x^{\prime})^{2}+(y-y^{\prime})^{2}+(z-z^{\prime})^{2}]^{-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{x-x^{\prime}}{\cR} \end{align*} $$
마찬가지로 $\dfrac{\partial \cR}{\partial y}= \dfrac {y-y^{\prime}}{\cR}$ , $\dfrac{\partial \cR}{\partial z} = \dfrac {z-z^{\prime}}{\cR}$이다. 따라서 정리하면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \nabla (\cR^n) &= \frac{\partial}{\partial \cR}(\cR^n)\frac{x-x^{\prime}}{\cR}\hat{\mathbf{x}}+ \frac{\partial}{\partial \cR}(\cR^n)\frac{y-y^{\prime}}{\cR}\hat{\mathbf{y}}+\frac{\partial}{\partial \cR}(\cR^n)\frac{z-z^{\prime}}{\cR}\hat{\mathbf{z}} \\ &= \frac{\partial}{\partial \cR}(\cR^n) \left( \frac{x-x^{\prime}}{\cR}\hat{\mathbf{x}}+ \frac{y-y^{\prime}}{\cR}\hat{\mathbf{y}}+\frac{z-z^{\prime}}{\cR}\hat{\mathbf{z}} \right) \\ &= n\cR^{n-1}\crH \end{align*} $$
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