📂다변수벡터해석

벡터값 함수의 극한과 연속

정의¹

세 스칼라 함수 $f, g, h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해서, 벡터함수 $\mathbf{r} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{3}$가 다음과 같다고 하자. $$\mathbf{r}(t) = \left( f(t), g(t), h(t) \right)$$

$\mathbf{r}$의 $a$에서의 극한^limit을 다음과 같이 정의한다.

$$\lim\limits_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \left( \lim\limits_{t \to a} f(t), \lim\limits_{t \to a} g(t), \lim\limits_{t \to a} h(t) \right)$$

다음의 식이 성립하면 $\mathbf{r}$이 $a$에서 연속^continuous이라고 한다.

$$\lim\limits_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)$$

설명

스칼라 함수의 극한과 연속성의 정의를 그대로 확장시킨 것이다. $n$차원에 대해서도 같은 방식으로 정의된다. $\mathbf{r}(t) = \left( f_{1}(t), \dots, f_{n}(t) \right)$에 대해서,

$$\lim\limits_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \left( \lim\limits_{t \to a} f_{1}(t), \dots, \lim\limits_{t \to a} f_{n}(t) \right)$$