타이트 확률 측도
정의
공간 $S$ 가 거리 공간 $( S , \rho)$ 이면서 가측 공간 $(S,\mathcal{B}(S))$ 이라고 하자.
$P$ 가 $S$ 에서 정의된 확률 측도라고 하자. 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $P(K) > 1 - \varepsilon$ 가 되도록하는 컴팩트 셋 $K$ 가 존재하면 $P$ 가 타이트tight하다고 한다.
설명
일반적으로 학부 수준 이하의 확률에서는 타이트하지 않은 확률은 접하기가 어렵다. 가령 정규분포를 따르는 확률 변수 $X$ 에서 유도된 확률 측도 $P_{X}$ 가 있다면 $\varepsilon>0$ 이 어찌되든 $P(K) > 1 - \varepsilon$ 를 만족시키는 바운디드 클로즈드 셋 $K$ 는 존재할 수 밖에 없고, 하이네-보렐 정리에 따라 $K$ 는 컴팩트가 되어 $P_{X}$ 가 타이트하다는 것도 보일 수 있다. 사실, $\mathbb{R}$ 상에서 정의된 확률변수로 유도된 모든 확률 측도는 타이트하기도 하다.
이렇듯 타이트라는 개념을 생각하는 이유는 당연히 어떤 집합이 컴팩트라는 것이 굉장히 다루기 편하다는 이점이 있기 때문이다. $K$ 가 컴팩트하다는 말은 이를 유한한 오픈 커버로 쪼개서 생각할 수 있다는 말이다.
다음의 정리에서 $A$ 가 무엇이든 $P\left( K_{n} \right) \to P(A)$ 가 되도록 하는 컴팩트 셋의 시퀀스 $\left\{ K_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 존재함을 보장할 수 있다. 안 그래도 컴팩트 셋은 유한하게 쪼갤 수 있어 무척 다루기가 편했다는 점을 생각하면 타이트라는 조건이 참 좋다고 말하지 않을 수가 없다.
정리
$P$ 가 타이트하다 $\iff$ 모든 $A \in \mathcal{B}(S)$ 에 대해 $\displaystyle P(A) = \sup_{ K : \text{compact set}} \left\{ P(K) : K \subset A \right\}$
증명
$(\Rightarrow)$ $P$ 가 $(S,\mathcal{B}(S))$ 에서 정의된 확률이라고 하자. 그러면 모든 $A \in \mathcal{B}(S)$ 와 $\varepsilon>0$ 에 대해 다음을 만족하는 닫힌 집합 $F_{\varepsilon}$ 과 열린 집합 $G_{\varepsilon}$ 가 존재한다. $$ F_{\varepsilon}\subset A \subset G_{\varepsilon} \\ P ( G_{\varepsilon} \setminus F_{\varepsilon}) < \varepsilon $$ 위의 성질에 따라 $P(A) - P (F_{\varepsilon}) < \varepsilon$ 를 만족하는 클로즈드 셋 $F_{\varepsilon} \subset A$ 이 존재한다. 또한 $P$ 는 타이트하므로 $P(K) > 1 - \varepsilon \iff P(K^{c}) < \varepsilon$ 를 만족하는 컴팩트 셋 $K$ 가 존재한다. $$ P(A) \le P(F_{\varepsilon}) + \varepsilon $$ 이제 위의 부등식에서 $F_{\varepsilon}$ 를 $F_{\varepsilon} = \left( F_{\varepsilon} \cap K \right) \cup \left( F \setminus K \right)$ 와 같이 쪼개면 $$ P(A) \le P \left( F_{\varepsilon} \cap K \right) + P \left( F \setminus K \right) + \varepsilon $$ 여기서 $$ \begin{align*} P \left( F \setminus K \right) =& P \left( \Omega \setminus K \right) \\ =& P(K^{c}) \\ <& \varepsilon \end{align*} $$ 이므로 $$ P(A) \le P \left( F_{\varepsilon} \cap K \right) + 2 \varepsilon $$
컴팩트 셋의 성질: 컴팩트 집합 $K$ 의 부분집합 $F$ 가 닫힌 집합이면 $F$ 는 컴팩트 집합이다.
물론 $F_{\varepsilon} \cap K \subset K$ 는 닫힌 집합이므로 컴팩트 집합이고, 따라서 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해 다음을 만족하는 컴팩트 셋 $F_{\varepsilon} \cap K$ 이 존재한다. $$ P(A) \le P \left( F_{\varepsilon} \cap K \right) + 2 \varepsilon \\ F_{\varepsilon} \cap K \subset A $$ 따라서 모든 $A \in \mathcal{B}(S)$ 에 대해 $\displaystyle P(A) = \sup_{ K : \text{compact set}} \left\{ P(K) : K \subset A \right\} $$ (\Leftarrow) $$ \Omega \in \mathcal{B}(S)$ 에 대해서도 $$ 1 = P ( \Omega ) = \sup_{ K : \text{compact set}} \left\{ P(K) : K \subset \Omega \right\} $$ 이므로 $\varepsilon > 0$ 가 무엇이 되든 $P(K) > 1 - \varepsilon$ 를 만족하는 컴팩트 셋 $K$ 는 존재한다.
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