📂측도론

딘킨의 파이-람다 정리

정리

파이 시스템 $\mathcal{P}$ 가 람다 시스템 $\mathcal{L}$ 의 부분집합이면 $\mathcal{P} \subset \sigma ( \mathcal{P} ) \subset \mathcal{L}$ 을 만족하는 시그마 필드 $\sigma ( \mathcal{P} )$ 가 존재한다.

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• $\sigma ( \mathcal{P} )$ 는 $\mathcal{P}$ 의 모든 원소를 포함하는 가장 작은 시그마 필드를 나타낸다.

설명

스테이트먼트만 보면 아주 간단해보이지만 이러한 정리들이 그러하듯 그 증명은 상당히 길고 복잡하다. 여기서 파이 시스템 $\mathcal{P}$ 와 람다 시스템 $\mathcal{L}$ 의 역할이 무엇일지 생각해보자.

파이 시스템과 람다 시스템:

1. 다음을 만족하는 $\mathcal{P}$ 을 $\pi$-시스템이라 한다. $$A, B \in \mathcal{P} \implies A \cap B \in \mathcal{P}$$
2. 다음의 조건들을 만족하는 $\mathcal{L}$ 을 $\lambda$-시스템이라 한다.

• (i): $\emptyset \in \mathcal{L}$
• (ii): $A \in \mathcal{L} \implies A^{c} \in \mathcal{L}$
• (iii): 모든 $i \ne j$ 에 대해 $\displaystyle A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ 일 때, $\displaystyle \left\{ A_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L} \implies \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{L}$

측도론이란 그 이름대로 무언가를 재려는 이론이므로 어찌됐든 가측 공간을 생각해야하고 뭘 하든 시그마필드가 있어야한다. 그런데 주어진 문제에 딱 맞는 시그마 필드를 찾는다는 것은 생각보다 쉬운 일이 아닐 수 있다. 그 문제가 마침 파이 시스템보다는 커야하지만 람다 시스템보다 커지면 안 되는 제약이 있다면 이 정리를 통해 구체적인 시그마 필드 $\sigma ( \mathcal{P} )$ 를 얻을 수 있을 것이다.

이는 시그마 필드를 찾기 막막한 문제를 풀 때, 비교적 만들어내기 쉬운 파이 시스템부터 만들어 접근할 수 있다는 의미가 된다. 람다 시스템은 이 쉬운 파이 시스템을 포함하도록 구축되어야하는데, 이 작업들은 보통 ‘그냥 어떤 시그마 필드를 찾는 것’보다 구체적이고 쉽다.