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L1 수렴 마틴게일이면 클로저블 마틴게일이다 📂확률론

L1 수렴 마틴게일이면 클로저블 마틴게일이다

정리

확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 과 마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 주어져 있다고 하자. 확률 과정 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 확률 변수 YY 로 L1\mathcal{L}_{1}하면 {(Xn,Fn):n=1,⋯ ,∞}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\} 은 클로저블 마틴게일이다.

설명

원래 XnX_{n} 이 YY 로 L1\mathcal{L}_{1} 수렴하고 XnX_{n} 이 X∞X_{\infty} 로 거의 확실히 수렴한다고 해도 YY 와 X∞X_{\infty} 이 어떤 관계가 있다고 장담할 수는 없다. Xn→L1Y∧Xn→a.s.X∞⇏Y=X∞ X_{n} \overset{\mathcal{L}_{1}}{\to} Y \land X_{n} \overset{\text{a.s.}}{\to} X_{\infty} \nRightarrow Y = X_{\infty} 수식으로 다시 쓰자면 위와 같은데, 증명과정에서 마틴게일의 경우 Y=a.s.X∞Y \overset{\text{a.s.}}{=} X_{\infty} 가 성립함을 확인 할 수 있다.

증명

Part 1. E∣Xn∣→E∣Y∣E |X_{n}| \to E |Y|

{Xn}\left\{ X_{n} \right\} 이 어떤 확률 변수 YY 로 L1\mathcal{L}_{1} 수렴한다는 것은 다음과 같다. lim⁡n→∞∫Ω∣Xn−Y∣dP=lim⁡n→∞E∣Xn−Y∣=0 \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega} | X_{n} - Y | dP = \lim_{n \to \infty} E | X_{n} - Y | = 0 일반성을 잃지 않고, ∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣\left| |a| - |b| \right| \le | a - b| 이므로 ∣E∣Xn∣−E∣Y∣∣≤∣E(∣Xn∣−∣Y∣∣)≤E∣∣Xn∣−∣Y∣∣≤E∣Xn−Y∣ \begin{align*} \left| E | X_{n} | - E | Y | \right| \le & \left| E \left( | X_{n} | - | Y | \right| \right) \\ \le & E \left| |X_{n}| - |Y| \right| \\ \le & E \left| X_{n} - Y \right| \end{align*} 즉 n→∞n \to \infty 일 때 E∣Xn∣→E∣Y∣E |X_{n}| \to E |Y| 이다.

Part 2. Y=a.s.X∞Y \overset{\text{a.s.}} = X_{\infty}

서브 마틴게일 수렴 정리: 확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 와 서브 마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 주어져 있다고 하자.

sup⁡n∈NEXn+<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty 이라고 하면 XnX_{n} 은 어떤 확률 변수 X∞:Ω→RX_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R} 로 거의 확실히 수렴하고 EX∞<EX∞+<∞E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty

E∣Xn∣→E∣Y∣E |X_{n}| \to E |Y| 이므로 sup⁡n∈NE∣Xn∣<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty 이다. 물론 EXn+≤E∣Xn∣<∞E X_{n}^{+} \le E | X_{n} | < \infty 이고 마틴게일은 서브 마틴게일이므로 서브 마틴게일 수렴 정리에 따라 확률과정 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} 은 어떤 확률변수 X∞X_{\infty} 로 거의 확실히 수렴한다. 따라서 Y=a.s.X∞Y \overset{\text{a.s.}}{=} X_{\infty} 이다.

Part 3. E(X∞∣Fn)=XnE \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right)= X_{n}

일반성을 잃지 않고, Z≥0∧EZ=0  ⟹  Z≤0Z \ge 0 \land E Z = 0 \implies Z \le 0 이므로 E∣E(X∞∣Fn)−Xn∣=0E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| = 0 임을 보이면 충분하다. m>nm > n 을 생각해보면 E∣E(X∞∣Fn)−Xn∣=E∣E(X∞∣Fn)−E(Xn∣Fn)∣=E∣E(X∞∣Fn)−E(Xm∣Fn)∣=E∣E(X∞−Xm∣Fn)∣≤E[E(∣X∞−Xm∣∣Fn)]=E∣X∞−Xm∣ \begin{align*} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| =& E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ =& E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - E \left( X_{m} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ =& E \left| E \left( X_{\infty} - X_{m} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ \le & E \left[ E \left( \left| X_{\infty} - X_{m} \right| | \mathcal{F}_{n} \right) \right] \\ =& E | X_{\infty} - X_{m} | \end{align*} 양변에 lim⁡m→∞\displaystyle \lim_{m \to \infty} 을 취하면 Part 1~2에 따라 E∣E(X∞∣Fn)−Xn∣=lim⁡m→∞E∣E(X∞∣Fn)−Xn∣≤lim⁡m→∞E∣X∞−Xm∣≤0 \begin{align*} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| &= \lim_{m \to \infty} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| \\ \le & \lim_{m \to \infty} E | X_{\infty} - X_{m} | \\ \le & 0 \end{align*} 따라서 {(Xn,Fn):n=1,⋯ ,∞}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\} 은 클로저블 마틴게일이 됨을 확인할 수 있다.

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