조화평균을 활용해 평균속력 구하기
공식
거리 $S$ 만큼 갈 때 속력 $a$ 로 이동하고 올 때 속력 $b$ 로 이동했다면 평균속력 $v$ 는 다음과 같이 두 속력의 조화평균으로 나타난다. $$ v = \frac { 2ab }{ a+b } $$
설명
시속 60km로 한 시간 이동한 후 시속 80km로 한 시간 더 이동했을 때 두 시간동안의 평균 속력은 70km/h다. 이처럼 시간이 단위일 경우 쉽게 산술평균으로 답을 내놓을 수 있지만, 단위가 거리일 경우 쉽게 답을 내기가 어렵다.
가령 목적지까지 갈 때 시속 100km, 올 때 시속 50km로 이동했다고 한다면 평균 속력은 단순히 75km/h가 아니다. 마침 거리가 딱 100km라고 가정한다면갈 때 걸린 시간이 한 시간 + 올 때 걸린 시간은 두 시간으로 총 세시간, 이동한 거리는 갈 때 100km + 올 때 100km로 총 200km니까 평균 속력은 약 66.7km/h가 된다.
이렇게 잘게 쪼개서 분석하면 문제를 이해하기는 쉬워지지만 계산 자체는 쉬워지지 않는다. 이런 문제를 풀 때 써먹기 좋은 게 바로 조화평균이다.
유도
갈 때 걸린 시간을 $t_{ a }$, 올 때 걸린 시간을 $t_{ b }$ 라 하면 $\displaystyle a=\frac { S }{ t_{ a } }$ 이고 $\displaystyle b=\frac { S }{ t_{ a } }$ 이므로 $$ t_{ a }=\frac { S }{ a } \\ t_{ b }=\frac { S }{ b } $$ 이다. 평균속력은 $\displaystyle \frac { 2S }{ t_{ a }+t_{ b } }$ 인데, $S$ 에 대해서 나타내보면 $$ \frac { 2S }{ \frac { S }{ a }+\frac { S }{ b } } $$ 이다. 마지막으로 깔끔하게 정리하면 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} \frac { 2S }{ \frac { S }{ a }+\frac { S }{ b } } =& \frac { 2S }{ \frac { aS+bS }{ ab } } \\ =& \frac { 2abS }{ aS+bS } \\ =& \frac { 2ab }{ a+b } \end{align*} $$
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