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균등적분가능 마틴게일이면 L1 수렴 마틴게일이다 📂확률론

균등적분가능 마틴게일이면 L1 수렴 마틴게일이다

정의

확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 가 주어져 있다고 하자. 확률 과정 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} 이 어떤 확률 변수 X∞X_{\infty} 에 대해 다음을 만족하면 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} 이 X∞X_{\infty} 로 Lp\mathcal{L}_{p} 수렴한다고 말한다. lim⁡n→∞∥Xn−X∞∥p=0 \lim_{n \to \infty} \| X_{n} - X_{\infty} \|_{p} = 0 확률 과정 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} 가 Lp\mathcal{L}_{p} 수렴하면 마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 Lp\mathcal{L}_{p} 수렴한다고 말한다.

정리

마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 균등적분가능이면 L1\mathcal{L}_{1} 수렴한다.

설명

측도론의 센스로 보았을 때 p=1p=1 에서 수렴하는 것은 큰 의미가 없을지도 모르지만, 통계학의 관점에서는 이정도도 충분할 수 있다.

증명

∫Ω∣Xn∣dP=∫(∣Xn∣≤k)∣Xn∣dP+∫(∣Xn∣>k)∣Xn∣dP≤kP(∣Xn∣≤k)+∫(∣Xn∣>k)∣Xn∣dP≤k+∫(∣Xn∣>k)∣Xn∣dP \begin{align*} \int_{\Omega} |X_{n}| dP =& \int_{(|X_{n}| \le k)} |X_{n}| dP + \int_{(|X_{n}| > k)} |X_{n}| dP \\ \le & k P (|X_{n}| \le k) + \int_{(|X_{n}| > k)} |X_{n}| dP \\ \le & k+ \int_{(|X_{n}| > k)} |X_{n}| dP \end{align*} 한편 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 균등적분가능하다는 것은 모든 ε>0\varepsilon > 0 에 대해 다음을 만족하는 k∈Nk \in \mathbb{N} 이 존재한다는 것이다. sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP<ε \sup_{ n \in \mathbb{N} } \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP < \varepsilon 따라서 위에서 얻은 식의 양변에 sup⁡n∈N\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} 를 취하면 sup⁡n∈N∫Ω∣Xn∣dP≤k+sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP<k+ε<∞ \begin{align*} \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{\Omega} |X_{n}| dP \le & k + \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \\ <& k + \varepsilon \\ <& \infty \end{align*} 정리하면 sup⁡n∈NE∣Xn∣<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty 을 얻는다.

서브 마틴게일 수렴 정리: 확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 와 서브 마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 주어져 있다고 하자.

sup⁡n∈NEXn+<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty 이라고 하면 XnX_{n} 은 어떤 확률 변수 X∞:Ω→RX_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R} 로 거의 확실히 수렴하고 EX∞<EX∞+<∞E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty

sup⁡n∈NEXn+≤sup⁡n∈NE∣Xn∣<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} \le \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty 이고 마틴게일은 서브 마틴게일이므로 서브 마틴게일 수렴 정리에 따라 확률과정 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} 은 어떤 확률변수 X∞X_{\infty} 로 거의 확실히 수렴한다. 또한 거의 확실히 수렴하면 확률 수렴하므로, Xn→PX∞X_{n} \overset{P}{\to} X_{\infty} 와 같이 적을 수 있다.

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비탈리 수렴 정리: 측도 공간 (X,E,μ)( X , \mathcal{E} , \mu) 가 주어져 있다고 하자.

1≤p<∞1 \le p < \infty 라고 할 때 함수의 시퀀스 {fn}n∈N⊂Lp\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L}^{p} 가 ff 로 Lp\mathcal{L}_{p} 수렴하는 것은 다음 세 가지를 모두 만족하는 것과 필요충분조건이다.

  • (i): {fn}\left\{ f_{n} \right\} 은 ff 로 측도 수렴한다.
  • (ii): {∣fn∣p}\left\{ | f_{n} |^{p} \right\} 은 균등적분가능하다.
  • (iii): 모든 ε>0\varepsilon > 0 에 대해 F∈E∧F∩E=∅  ⟹  ∫F∣fn∣pdμ<εp∀n∈N F \in \mathcal{E} \land F \cap E = \emptyset \implies \int_{F} | f_{n} |^{p} d \mu < \varepsilon^{p} \qquad \forall n \in \mathbb{N} 를 만족하고 μ(E)<∞\mu (E) < \infty 인 E∈EE \in \mathcal{E} 가 존재한다.

확률 PP 는 P(Ω)=1<∞P(\Omega) = 1 < \infty 를 만족하는 유한 측도이므로 조건 (iii)을 자명하게 만족시킨다. 또한 가정에서 p=1p=1 에 대해 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} 이 균등적분가능하므로 조건 (ii)를 만족시키고, 확률 수렴은 측도 수렴이므로 Xn→PX∞X_{n} \overset{P}{\to} X_{\infty} 은 XnX_{n} 이 X∞X_{\infty} 로 측도 수렴함을 함의해서 조건 (i)을 만족시킨다. 비탈리 수렴 정리(⇐)(\Leftarrow) 에 따라 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} 은 L1\mathcal{L}_{1} 수렴하고, 균등적분가능 마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 은 L1\mathcal{L}_{1} 수렴하는 마틴게일이다.

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