균등적분가능 마틴게일이면 L1 수렴 마틴게일이다
정의
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 가 주어져 있다고 하자. 확률 과정 $\left\{ X_{n} \right\}$ 이 어떤 확률 변수 $X_{\infty}$ 에 대해 다음을 만족하면 $\left\{ X_{n} \right\}$ 이 $X_{\infty}$ 로 $\mathcal{L}_{p}$ 수렴한다고 말한다. $$ \lim_{n \to \infty} \| X_{n} - X_{\infty} \|_{p} = 0 $$ 확률 과정 $\left\{ X_{n} \right\}$ 가 $\mathcal{L}_{p}$ 수렴하면 마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 $\mathcal{L}_{p}$ 수렴한다고 말한다.
정리
마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 균등적분가능이면 $\mathcal{L}_{1}$ 수렴한다.
설명
측도론의 센스로 보았을 때 $p=1$ 에서 수렴하는 것은 큰 의미가 없을지도 모르지만, 통계학의 관점에서는 이정도도 충분할 수 있다.
증명
$$ \begin{align*} \int_{\Omega} |X_{n}| dP =& \int_{(|X_{n}| \le k)} |X_{n}| dP + \int_{(|X_{n}| > k)} |X_{n}| dP \\ \le & k P (|X_{n}| \le k) + \int_{(|X_{n}| > k)} |X_{n}| dP \\ \le & k+ \int_{(|X_{n}| > k)} |X_{n}| dP \end{align*} $$ 한편 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 균등적분가능하다는 것은 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 다음을 만족하는 $k \in \mathbb{N}$ 이 존재한다는 것이다. $$ \sup_{ n \in \mathbb{N} } \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP < \varepsilon $$ 따라서 위에서 얻은 식의 양변에 $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}}$ 를 취하면 $$ \begin{align*} \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{\Omega} |X_{n}| dP \le & k + \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \\ <& k + \varepsilon \\ <& \infty \end{align*} $$ 정리하면 $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty$ 을 얻는다.
서브 마틴게일 수렴 정리: 확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 서브 마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 주어져 있다고 하자.
$\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty$ 이라고 하면 $X_{n}$ 은 어떤 확률 변수 $X_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R}$ 로 거의 확실히 수렴하고 $$E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty$$
$\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} \le \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty$ 이고 마틴게일은 서브 마틴게일이므로 서브 마틴게일 수렴 정리에 따라 확률과정 $\left\{ X_{n} \right\}$ 은 어떤 확률변수 $X_{\infty}$ 로 거의 확실히 수렴한다. 또한 거의 확실히 수렴하면 확률 수렴하므로, $X_{n} \overset{P}{\to} X_{\infty}$ 와 같이 적을 수 있다.
비탈리 수렴 정리: 측도 공간 $( X , \mathcal{E} , \mu)$ 가 주어져 있다고 하자.
$1 \le p < \infty$ 라고 할 때 함수의 시퀀스 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L}^{p}$ 가 $f$ 로 $\mathcal{L}_{p}$ 수렴하는 것은 다음 세 가지를 모두 만족하는 것과 필요충분조건이다.
- (i): $\left\{ f_{n} \right\}$ 은 $f$ 로 측도 수렴한다.
- (ii): $\left\{ | f_{n} |^{p} \right\}$ 은 균등적분가능하다.
- (iii): 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$ F \in \mathcal{E} \land F \cap E = \emptyset \implies \int_{F} | f_{n} |^{p} d \mu < \varepsilon^{p} \qquad \forall n \in \mathbb{N} $$ 를 만족하고 $\mu (E) < \infty$ 인 $E \in \mathcal{E}$ 가 존재한다.
확률 $P$ 는 $P(\Omega) = 1 < \infty$ 를 만족하는 유한 측도이므로 조건 (iii)을 자명하게 만족시킨다. 또한 가정에서 $p=1$ 에 대해 $\left\{ X_{n} \right\}$ 이 균등적분가능하므로 조건 (ii)를 만족시키고, 확률 수렴은 측도 수렴이므로 $X_{n} \overset{P}{\to} X_{\infty}$ 은 $X_{n}$ 이 $X_{\infty}$ 로 측도 수렴함을 함의해서 조건 (i)을 만족시킨다. 비탈리 수렴 정리$(\Leftarrow)$ 에 따라 $\left\{ X_{n} \right\}$ 은 $\mathcal{L}_{1}$ 수렴하고, 균등적분가능 마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 은 $\mathcal{L}_{1}$ 수렴하는 마틴게일이다.
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