📂확률론

측도론으로 정의되는 확률 수렴

확률 수렴의 어려운 정의

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 가 주어져 있다고 하자.

확률 변수의 시퀀스 $\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 확률 변수 $X$ 로 측도 수렴하면 확률 수렴한다고 말하고 $X_{n} \overset{P}{\to} X$ 와 같이 나타낸다.

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• 아직 측도론을 접하지 못했다면 확률 공간이라는 말은 무시해도 좋다.

설명

$\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 $X$ 로 수렴한다는 말은 곧 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$\lim_{n \to \infty} P \left( \left\{ \omega \in \Omega : | X_{n}(\omega) - X(\omega) | \ge \varepsilon \right\} \right) = 0$$ 이라는 것이고, 조금 더 익숙한 모양으로 바꿔보면 다음과 같다. $$\lim_{n \to \infty} P \left( | X_{n}(\omega) - X(\omega) | < \varepsilon \right) = 1$$ 확률 변수의 시퀀스는 확률 과정이므로 확률 과정론에서 유용하게 사용할 수 있음을 짐작할 수 있다.

측도 수렴에서 이어받은 확률 수렴의 성질:

• [3] $X_{n}$ 이 $X$ 로 거의 확실히 수렴하면 확률 수렴한다.
• [4] $X_{n}$ 이 $X$ 로 $\mathcal{L}_{p}$ 수렴하면 확률 수렴한다.

확률 $P$ 는 측도기 때문에 측도 수렴의 성질을 그대로 이어받는다.

같이보기

• 수리통계학에서 정의됐던 확률 수렴
• 거의 확실히 수렴 $\implies$ 확률 수렴 $\implies$ 분포 수렴
• $\mathcal{L}_{p}$ 수렴 $\implies$ 확률 수렴