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분리합집합 위상 공간 📂위상수학

분리합집합 위상 공간

정의

{Xα}α∈A\left\{ X_\alpha \right\}_{\alpha \in A}를 임의의 위상 공간 인덱스 패밀리라고 하자. u⊂⨆α∈AXαu \subset \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha라고 하자. 그러면 모든 α∈A\alpha \in A에 대해서 u∩Xαu \cap X_\alpha가 Xα X_\alpha에서 열린 집합일 때, uu가 ⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha에서 열린 집합∗^{\ast}이라고 한다.

  • 이때 마지막에서 말하는 오픈∗^{\ast}은 정확하게는 위상수학에서의 오픈을 말하는 것이 아니다. 다만 저런 조건을 만족하는 부분집합 uu들을 모으면 실제로 ⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha의 위상이 됨을 확인할 수 있다. 그래서 오픈이라고 부른다.

정리

위상으로써의 분리합집합

T\mathcal{T}를 ⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha에서 열린∗^{\ast} 부분집합들의 콜렉션이라 하자. 또한 Tα\mathcal{T}_\alpha를 XαX_\alpha의 위상이라고 하자.

  • (0)(0): 그러면 T\mathcal{T}는 ⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha의 위상이고 이를 분리합집합 위상disjoint union topology라 부른다.

분리합집합 위상의 성질들

⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha를 분리합집합 위상 공간이라고 하자. 그러면

  • (a)(a): YY를 임의의 위상 공간이라 하자. 그러면 f : ⨆α∈AXα→Yf\ :\ \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha \rightarrow Y가 연속인 것과 ∀ β∈A\forall\ \beta\in A, f∘ι : Xβ→Yf\circ \iota\ :\ X_\beta \rightarrow Y가 연속인 것은 동치이다.
  • (b)(b): 분리합집합 위상은 (a)(a)를 만족하는 ⨆α∈AXα\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha위의 유일한 위상이다.
  • (c)(c): 부분 집합 F⊂⨆α∈AXαF \subset \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha가 닫힌 집합인 것은 모든 α∈A\alpha \in A에 대해서 F∩XαF\cap X_\alpha가 XαX_\alpha에서 닫힌 집합인 것과 동치이다.

증명

(0)(0)

전략: 증명은 위상이 될 조건 세가지를 만족하는지 직접 확인해보면 된다.

(1)(1)

∅,⨆α∈AXα\varnothing, \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha와 모든 α∈A\alpha \in A에 대해서 ∅∩Xα=∅∈Tα(⨆α∈AXα)∩Xα=Xα∈Tα \varnothing \cap X_\alpha=\varnothing \in \mathcal{T}_\alpha \\ \left( \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha \right) \cap X_\alpha=X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha 이므로 ∅,⨆α∈AXα∈T \varnothing, \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha \in \mathcal{T}

(2)(2)

ui∈T,∀ i∈Nu_{i} \in \mathcal{T},\quad \forall\ i\in \mathbb{N}이라고 하자. 그러면 정의에 의해 ui∩Xα∈Tα,∀ i∈N u_{i}\cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha,\quad \forall\ i\in \mathbb{N} 그런데 (⋃i=1∞ui)∩Xα=⋃i=1∞(ui∩Xα) \left( \bigcup \limits_{i=1}^\infty u_{i}\right)\cap X_\alpha=\bigcup \limits_{i=1}^\infty \left( u_{i} \cap X_\alpha \right) 이고 열린 집합의 가산합집합도 열린 집합이므로 (⋃i=1∞ui)∩Xα∈Tα \left( \bigcup \limits_{i=1}^\infty u_{i} \right) \cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha 이다. 따라서 ⋃i=1∞ ui∈T \bigcup \limits_{i=1}^\infty\ u_{i} \in \mathcal {T}

(3)(3)

u1,u2∈Tu_{1}, u_2 \in \mathcal{T}라고 하자. 그러면 정의에 의해 ui∩Xα∈Tα,i=1,2 u_{i}\cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha,\quad i=1,2 그런데 (u1∩u2)∩Xα=u1∩u2∩Xα∩Xα=(u1∩Xα)∩(u2∩Xα) (u_{1} \cap u_2)\cap X_\alpha=u_{1}\cap u_2\cap X_\alpha \cap X_\alpha=\left( u_{1}\cap X_\alpha \right) \cap \left(u_2\cap X_\alpha \right) 이고 열린 집합의 교집합도 열린 집합이므로 (u1∩u2)∩Xα∈Tα \left( u_{1} \cap u_2 \right) \cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha 따라서 u1∩u2∈T u_{1}\cap u_2 \in \mathcal {T}

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