분리합집합 위상 공간
정의
$\left\{ X_\alpha \right\}_{\alpha \in A}$를 임의의 위상 공간 인덱스 패밀리라고 하자. $u \subset \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha$라고 하자. 그러면 모든 $\alpha \in A$에 대해서 $u \cap X_\alpha$가 $ X_\alpha$에서 열린 집합일 때, $u$가 $\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha$에서 열린 집합$^{\ast}$이라고 한다.
- 이때 마지막에서 말하는 오픈$^{\ast}$은 정확하게는 위상수학에서의 오픈을 말하는 것이 아니다. 다만 저런 조건을 만족하는 부분집합 $u$들을 모으면 실제로 $\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha$의 위상이 됨을 확인할 수 있다. 그래서 오픈이라고 부른다.
정리
위상으로써의 분리합집합
$\mathcal{T}$를 $\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha$에서 열린$^{\ast}$ 부분집합들의 콜렉션이라 하자. 또한 $\mathcal{T}_\alpha$를 $X_\alpha$의 위상이라고 하자.
- $(0)$: 그러면 $\mathcal{T}$는 $\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha$의 위상이고 이를 분리합집합 위상disjoint union topology라 부른다.
분리합집합 위상의 성질들
$\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha$를 분리합집합 위상 공간이라고 하자. 그러면
- $(a)$: $Y$를 임의의 위상 공간이라 하자. 그러면 $f\ :\ \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha \rightarrow Y$가 연속인 것과 $\forall\ \beta\in A$, $f\circ \iota\ :\ X_\beta \rightarrow Y$가 연속인 것은 동치이다.
- $(b)$: 분리합집합 위상은 $(a)$를 만족하는 $\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha$위의 유일한 위상이다.
- $(c)$: 부분 집합 $F \subset \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha$가 닫힌 집합인 것은 모든 $\alpha \in A$에 대해서 $F\cap X_\alpha$가 $X_\alpha$에서 닫힌 집합인 것과 동치이다.
증명
$(0)$
전략: 증명은 위상이 될 조건 세가지를 만족하는지 직접 확인해보면 된다.
$(1)$
$\varnothing, \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha$와 모든 $\alpha \in A$에 대해서 $$ \varnothing \cap X_\alpha=\varnothing \in \mathcal{T}_\alpha \\ \left( \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha \right) \cap X_\alpha=X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha $$ 이므로 $$ \varnothing, \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha \in \mathcal{T} $$
$(2)$
$u_{i} \in \mathcal{T},\quad \forall\ i\in \mathbb{N}$이라고 하자. 그러면 정의에 의해 $$ u_{i}\cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha,\quad \forall\ i\in \mathbb{N} $$ 그런데 $$ \left( \bigcup \limits_{i=1}^\infty u_{i}\right)\cap X_\alpha=\bigcup \limits_{i=1}^\infty \left( u_{i} \cap X_\alpha \right) $$ 이고 열린 집합의 가산합집합도 열린 집합이므로 $$ \left( \bigcup \limits_{i=1}^\infty u_{i} \right) \cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha $$ 이다. 따라서 $$ \bigcup \limits_{i=1}^\infty\ u_{i} \in \mathcal {T} $$
$(3)$
$u_{1}, u_2 \in \mathcal{T}$라고 하자. 그러면 정의에 의해 $$ u_{i}\cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha,\quad i=1,2 $$ 그런데 $$ (u_{1} \cap u_2)\cap X_\alpha=u_{1}\cap u_2\cap X_\alpha \cap X_\alpha=\left( u_{1}\cap X_\alpha \right) \cap \left(u_2\cap X_\alpha \right) $$ 이고 열린 집합의 교집합도 열린 집합이므로 $$ \left( u_{1} \cap u_2 \right) \cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha $$ 따라서 $$ u_{1}\cap u_2 \in \mathcal {T} $$
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