logo

확률과정론에서의 업크로싱 📂확률론

확률과정론에서의 업크로싱

정의

확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 와 서브 마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} 이 주어져 있다고 하자.폐구간 [a,b][a,b] 에 대해 Xt1≤aX_{t_{1}} \le a 이었다가 Xt2≥bX_{t_{2}} \ge b 가 되는 것을 업크로싱이라 한다. N∈NN \in \mathbb{N} 번까지 관찰할 때 업크로싱의 횟수를 다음과 같이 나타낸다. βN(a,b):=A number of upcrossing of {Xn} of interval [a,b] \beta_{N} (a,b): = \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} \right\} \text{ of interval } [a,b]

기초 성질

  • [1]: χi\chi_{i} 는 Fi−1\mathcal{F}_{i-1}-가측 함수다.
  • [2]: EβN(a,b)≤EXN++∣a∣b−a\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}
  • χi\chi_{i} 가 Fi−1\mathcal{F}_{i-1}-가측 함수라는 것은 모든 보렐 셋 B∈B(R)B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) 에 대해 χi−1(B)∈Fi−1\chi_{i}^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{i-1} 라는 의미다.

설명

20191014\_121834.png 업크로싱은 쉽게 말해 XnX_{n} 이 하한 aa 에서 상한 bb 를 넘어가는 것을 말한다. NN 까지 관측할 때 그 횟수를 βN(a,b)\beta_{N} (a,b) 와 같이 나타낸다. 위 그림에서는 βN(a,b)=3\beta_{N} (a,b) = 3 이다.

  • [1]: χi\chi_{i} 가 무엇인지 설명하기 이전에 업크로싱에 대해 자주 쓰는 노테이션 몇가지를 소개하려고 한다. 이 설명들을 읽기가 싫다면 그냥 그림만 보고 직관적으로 이해해도 좋다. τ1:=min⁡n{n≤N:Xn≤a}τ2:=min⁡n{τ1<n≤N:Xn≥b}τ3:=min⁡n{τ2<n≤N:Xn≤a}τ4:=min⁡n{τ2<n≤N:Xn≥b}⋮ \tau_{1}:= \min_{n} \left\{ \qquad n \le N: X_{n} \le a \right\} \\ \tau_{2}:= \min_{n} \left\{ \tau_{1} < n \le N: X_{n} \ge b \right\} \\ \tau_{3}:= \min_{n} \left\{ \tau_{2} < n \le N: X_{n} \le a \right\} \\ \tau_{4}:= \min_{n} \left\{ \tau_{2} < n \le N: X_{n} \ge b \right\} \\ \vdots 위와 같이 정의된 τk\tau_{k} 는 구간 [a,b][a,b] 에서 확률변수 XnX_{n} 이 벗어난 정지 시간을 의미한다. 정의에 따라 홀수 kk 에 대해서는 aa 밑으로 벗어나고, 짝수 kk 에 대해서는 bb 위로 벗어난 순간이 된다. 그래서 보통은 자연수 mm 에 대해 아래로 벗어난 순간 τ2m−1\tau_{2m-1} 과 위로 벗어난 순간 τ2m\tau_{2m} 으로 쓴다. 이러한 표현을 사용하면 자연스럽게 mm 은 mm 번째 업크로싱을 의미할 수 있다. 20191014\_122257.png

JmJ_{m} 은 mm 번째 업크로싱이 일어나고 있는 인덱스의 집합을 의미한다. 수식으로 적으면 다음과 같다. Jm:={k∈N:τ2m−1+1≤k≤τ2m} J_{m}:= \left\{ k \in \mathbb{N}: \tau_{2m-1} + 1 \le k \le \tau_{2m} \right\} 이에 대해 χi\chi_{i} 는 업크로싱이 일어나고 있을 때만 11 이고 나머지엔 00 인 함수다. 이러한 함수를 사용하는 의도는 업크로싱이 일어나고 있는 부분만 남기고 그 외에 관심 없는 부분들은 00 으로 곱해 없애기 위함이다. 수식적으로는 다음과 같이 정의된 지시 함수다. χi=1⋃Jm={0,i∈J1∪⋯∪Jm1,otherwise \begin{align*} \chi_{i} =& \mathbb{1}_{ \bigcup J_{m} } \\ =& \begin{cases} 0 &, i \in J_{1} \cup \cdots \cup J_{m} \\ 1 &, \text{otherwise} \end{cases} \end{align*} 다음의 그림에서 이들을 시각적으로 확인해보자. 20191014\_122836.png

  • [2]: EβN(a,b)E \beta_{N} (a,b) 를 정확하게 구할 수는 없지만 그 상한을 계산할 수 있다는 것은 꽤 좋다. 여기서 주목할만한 점은 모든 경우를 관측하는 게 아니라 가장 마지막이 되는 EXN+E X_{N}^{+} 만 계산하면 된다는 것이다.

증명

[1]

Part 1. (τ2m−1<i≤τ2m)=(τ2m−1<i)∩(i≤τ2m)(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) = (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m})

χi\chi_{i} 는 정의에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다. χi=1⋃Jm=∑m=1βN(a,b)1Jm=∑m=1βN(a,b)1(τ2m−1<i≤τ2m) \begin{align*} \chi_{i} =& \mathbb{1}_{\bigcup J_{m}} \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (a,b) } \mathbb{1}_{J_{m}} \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (a,b) } \mathbb{1}_{(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m})} \end{align*} 따라서 (τ2m−1<i≤τ2m)∈Fi−1(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1} 인지 확인하면 된다. 교집합으로 풀어헤쳐보면 (τ2m−1<i≤τ2m)=(τ2m−1<i)∩(i≤τ2m) (\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) = (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m})

Part 2. (i≤τ2m)∈Fi−1(i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1}

τk\tau_{k} 의 정의에서 k=2mk = 2m, 즉 짝수인 경우는 XnX_{n} 이 bb 위로 벗어난 순간을 나타낸다. 그런데 업크로싱이 일어나려면 XnX_{n} 이 aa 아래에 있다가 bb 위로 가야하므로, XnX_{n} 이 aa 밑으로 ‘돌아가는 시간’이 한 스텝 이상 소요된다. 따라서 χi−1=1\chi_{i-1} = 1 이고 Xi−1≥bX_{i-1} \ge b 면 한 스텝 다음에는 보나마나 xi=0x_{i} = 0 이어야만한다. 이는 우리가 실제로 i−1i-1 까지만 관측해서 Fi−1\mathcal{F}_{i-1} 만큼의 정보만 가지고 있음에도 불구하고 χi\chi_{i} 를 확정지은 것이나 다름 없다. 따라서 (i≤τ2m)∈Fi−1(i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1} 이다.

Part 3. (τ2m−1<i)∈Fi−1(\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1}

시그마 필드 Fi−1\mathcal{F}_{i-1} 의 정의에 따라 (i≤τ2m)∈Fi−1  ⟹  (i≤τ2m)c∈Fi−1  ⟹  (τ2m<i)∈Fi−1  ⟹  (τ2m−1<i)∈Fi−1 \begin{align*} & (i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (i \le \tau_{2m} )^{c} \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \end{align*}

Part 4. (τ2m−1<i≤τ2m)∈Fi−1(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1}

시그마 필드 Fi−1\mathcal{F}_{i-1} 의 정의에 따라 (τ2m−1<i)∈Fi−1∧(i≤τ2m)∈Fi−1  ⟹  (τ2m−1<i)∩(i≤τ2m)∈Fi−1  ⟹  (τ2m−1<i≤τ2m)∈Fi−1 \begin{align*} & (\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \land (i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1} \end{align*}

■

[2]

βN(a,b)=A number of upcrossing of {Xn} of interval [a,b]=A number of upcrossing of {Xn−a} of interval [0,b−a]=A number of upcrossing of {(Xn−a)+} of interval [0,b−a] \begin{align*} \beta_{N} (a,b) =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} \right\} \text{ of interval } [a,b] \\ =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} - a \right\} \text{ of interval } [0,b-a] \\ =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ ( X_{n} - a )^{+} \right\} \text{ of interval } [0,b-a] \end{align*} 이므로 Yn:=(Xn−a)+Y_{n}:= ( X_{n} - a )^{+} 에 대해 다음 부등식을 증명하면 일반성을 잃지 않고 EβN(a,b)≤EXN++∣a∣b−a\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }} 가 성립한다. EβN(0,b)≤EYNb E \beta_{N} (0,b) \le {{ E Y_{N}} \over { b }}

Part 1. E(Yn+1∣Fn)≥YnE \left( Y_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \ge Y_{n}

20191014\_123800.png

위 그림을 보면 f(x)=(x−a)+f(x) = (x - a)^{+} 가 컨벡스 함수고 감소하지 않는 함수임은 쉽게 확인할 수 있다. 그러면 조건부 옌센 부등식에 따라 E(Yn+1∣Fn)=E((Xn+1−a)+∣Fn)≥(E(Xn+1−a∣Fn))+≥(Xn−a)+=Yn \begin{align*} E \left( Y_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) =& E \left( ( X_{n+1} - a )^{+} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ \ge& \left( E \left( X_{n+1} - a | \mathcal{F}_{n} \right) \right)^{+} \\ \ge& \left( X_{n} - a \right)^{+} \\ =& Y_{n} \end{align*}

Part 2. bEβN(0,b)≤EYN\displaystyle b E \beta_{N} (0,b) \le E Y_{N}

20191014\_124310.png 구간 [0,b][0,b] 의 길이 bb 가 어떠하든 τk\tau_{k} 의 정의에서 τ2m\tau_{2m} 은 YkY_{k} 가 bb 위로 벗어난 시점을 의미하므로 Yτ2m≥bY_{\tau_{2m}} \ge b 이고 τ2m−1\tau_{2m-1} 은 YkY_{k} 가 00 아래로 벗어난 시점을 의미하므로 Yτ2m≤0Y_{\tau_{2m}} \le 0 이다. 그렇다면 mm 번째 업크로싱에서 Yk Y_{k} 이 증가한 양은 Y2m−Y2m−1≥bY_{2m} - Y_{2m-1} \ge b 이고, 이는 업크로싱이 βN[0,b]\beta_{N} [0,b] 번 일어날 때마다 항상 성립한다. 따라서 bβN[0,b]b \beta_{N} [0,b] 은 이 각각의 증가한 양보다 작거나 같다. 이를 수식으로 나타내면 bβN(0,b)≤∑m=1βN(0,b)(Yτ2m−Yτ2m−1)=∑m=1βN(0,b)[(Yτ2m−Yτ2m−1)+(Yτ2m−1−Yτ2m−2)+⋯+(Yτ2m−1+1−Yτ2m−1)]=∑m=1βN(0,b)∑i∈Jm(Yi−Yi−1) \begin{align*} b \beta_{N} (0,b) \le & \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \left( Y_{\tau_{2m}} - Y_{\tau_{2m-1}} \right) \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \left[ \left( Y_{\tau_{2m}} - Y_{\tau_{2m}-1} \right) + \left( Y_{\tau_{2m}-1} - Y_{\tau_{2m}-2} \right) + \cdots + \left( Y_{\tau_{2m-1}+1} - Y_{\tau_{2m-1}} \right) \right] \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \sum_{i \in J_{m}} \left( Y_{i} - Y_{i-1} \right) \end{align*} 인덱스가 βN(0,b)\beta_{N} (0,b) 으로 세어지는 게 마음에 안 들기 때문에 i=1,⋯ ,Ni=1 , \cdots , N 전체를 보는 대신 업크로싱이 일어나는 중일 때는 11 을 곱하고 업크로싱이 일어나는 중이 아닐 땐 00 을 곱하는 χi\chi_{i} 를 사용한다. 그러면 위의 수식은 다음과 같이 간단하게 축약된다. bβN(0,b)≤∑m=1βN(0,b)∑i∈Jm(Yi−Yi−1)=∑i=1N(Yi−Yi−1)χi b \beta_{N} (0,b) \le \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \sum_{i \in J_{m}} \left( Y_{i} - Y_{i-1} \right) = \sum_{i=1}^{N} ( Y_{i} - Y_{i-1}) \chi_{i}

Part 3.

조건부 기대값의 성질:

  • [3]: XX 가 F\mathcal{F}-가측이면 E(X∣F)=X a.s.E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}
  • [11]: 모든 시그마 필드 G\mathcal{G} 에 대해 E[E(X∣G)]=E(X)E \left[ E ( X | \mathcal{G} ) \right] = E(X) 이므로

기대값을 취하면 [11] 에 따라 조건부 기대값 E[⋅∣Fi−1]E \left[ \cdot | \mathcal{F}_{i-1} \right] 에 대해 bEβN(0,b)≤∑i=1NE(Yi−Yi−1)χi=∑i=1NE[E[(Yi−Yi−1)χi∣Fi−1]] \begin{align*} b E \beta_{N} (0,b) \le & \sum_{i=1}^{N} E ( Y_{i} - Y_{i-1}) \chi_{i} \\ &\color{red}{=}& \sum_{i=1}^{N} E \left[ E \left[ ( Y_{i} - Y_{i-1}) \chi_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] \right] \end{align*}

조건부 기대값의 스무딩 성질: XX 가 G\mathcal{G}-가측이면 E(XY∣G)=XE(Y∣G) a.s.E(XY | \mathcal{G}) = X E (Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.}

[1]에 따라 χi\chi_{i} 는 Fi−1\mathcal{F}_{i-1}-가측이고 스무딩 성질과 마틴게일의 정의에서 Yi−1Y_{i-1} 도 Fi−1\mathcal{F}_{i-1}-가측이이므로 [3]에 따라 bEβN(0,b)≤∑i=1NE[E[(Yi−Yi−1)χi∣Fi−1]]≤∑i=1NE[χiE[(Yi−Yi−1)∣Fi−1]]=∑i=1NE[χiE[Yi∣Fi−1]−χiE[Yi−1∣Fi−1]]=∑i=1NE[χiE[Yi∣Fi−1]−χiYi−1] \begin{align*} b E \beta_{N} (0,b) \le & \sum_{i=1}^{N} E \left[ E \left[ ( Y_{i} - Y_{i-1}) \chi_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] \right] \\ &\color{blue}{\le}& \sum_{i=1}^{N} E \left[ \chi_{i} E \left[ ( Y_{i} - Y_{i-1}) | \mathcal{F}_{i-1} \right] \right] \\ =& \sum_{i=1}^{N} E \left[ \chi_{i} E \left[ Y_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] - \chi_{i} E \left[ Y_{i-1} | \mathcal{F}_{i-1} \right] \right] \\ &\color{red}{=}& \sum_{i=1}^{N} E \left[ \chi_{i} E \left[ Y_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] - \chi_{i} Y_{i-1} \right] \end{align*} 가정에서 XnX_{n} 은 서브 마틴게일이었으므로 Yn=(Xn−a)+Y_{n} = ( X_{n} - a )^{+} 역시 서브 마틴게일이 되어 E[Yi∣Fi−1]−Yi−1≥0E \left[ Y_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] - Y_{i-1} \ge 0 이다. 그러면 χi=0\chi_{i} = 0 인 인덱스를 모두 탈락시키고 χi=1\chi_{i} = 1 인 부분만 남김으로써 다음의 부등식이 성립한다. bEβN(0,b)≤∑i=1NEχi[E[Yi∣Fi−1]−Yi−1]=∑i=1N[EE[Yi∣Fi−1]−EYi−1]=∑i=1N[EYi−EYi−1]=EYN−EY0 \begin{align*} b E \beta_{N} (0,b) \le & \sum_{i=1}^{N} E \chi_{i} \left[ E \left[ Y_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] - Y_{i-1} \right] \\ =& \sum_{i=1}^{N} \left[ E E \left[ Y_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] - E Y_{i-1} \right] \\ =& \sum_{i=1}^{N} \left[ E Y_{i} - E Y_{i-1} \right] \\ =& E Y_{N} - E Y_{0} \end{align*} 마지막으로 Yn=(Xn−a)+Y_{n} = ( X_{n} - a )^{+} 이었으므로 EβN(a,b)≤EXN++∣a∣b−a E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}

■