확률과정론에서의 업크로싱
정의
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 서브 마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 주어져 있다고 하자.폐구간 $[a,b]$ 에 대해 $X_{t_{1}} \le a$ 이었다가 $X_{t_{2}} \ge b$ 가 되는 것을 업크로싱이라 한다. $N \in \mathbb{N}$ 번까지 관찰할 때 업크로싱의 횟수를 다음과 같이 나타낸다. $$ \beta_{N} (a,b): = \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} \right\} \text{ of interval } [a,b] $$
기초 성질
- [1]: $\chi_{i}$ 는 $\mathcal{F}_{i-1}$-가측 함수다.
- [2]: $\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}$
- $\chi_{i}$ 가 $\mathcal{F}_{i-1}$-가측 함수라는 것은 모든 보렐 셋 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 에 대해 $\chi_{i}^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{i-1}$ 라는 의미다.
설명
업크로싱은 쉽게 말해 $X_{n}$ 이 하한 $a$ 에서 상한 $b$ 를 넘어가는 것을 말한다. $N$ 까지 관측할 때 그 횟수를 $\beta_{N} (a,b)$ 와 같이 나타낸다. 위 그림에서는 $\beta_{N} (a,b) = 3$ 이다.
- [1]: $\chi_{i}$ 가 무엇인지 설명하기 이전에 업크로싱에 대해 자주 쓰는 노테이션 몇가지를 소개하려고 한다. 이 설명들을 읽기가 싫다면 그냥 그림만 보고 직관적으로 이해해도 좋다.
$$
\tau_{1}:= \min_{n} \left\{ \qquad n \le N: X_{n} \le a \right\}
\\ \tau_{2}:= \min_{n} \left\{ \tau_{1} < n \le N: X_{n} \ge b \right\}
\\ \tau_{3}:= \min_{n} \left\{ \tau_{2} < n \le N: X_{n} \le a \right\}
\\ \tau_{4}:= \min_{n} \left\{ \tau_{2} < n \le N: X_{n} \ge b \right\}
\\ \vdots
$$
위와 같이 정의된 $\tau_{k}$ 는 구간 $[a,b]$ 에서 확률변수 $X_{n}$ 이 벗어난 정지 시간을 의미한다. 정의에 따라 홀수 $k$ 에 대해서는 $a$ 밑으로 벗어나고, 짝수 $k$ 에 대해서는 $b$ 위로 벗어난 순간이 된다. 그래서 보통은 자연수 $m$ 에 대해 아래로 벗어난 순간 $\tau_{2m-1}$ 과 위로 벗어난 순간 $\tau_{2m}$ 으로 쓴다. 이러한 표현을 사용하면 자연스럽게 $m$ 은 $m$ 번째 업크로싱을 의미할 수 있다.
$J_{m}$ 은 $m$ 번째 업크로싱이 일어나고 있는 인덱스의 집합을 의미한다. 수식으로 적으면 다음과 같다.
$$
J_{m}:= \left\{ k \in \mathbb{N}: \tau_{2m-1} + 1 \le k \le \tau_{2m} \right\}
$$
이에 대해 $\chi_{i}$ 는 업크로싱이 일어나고 있을 때만 $1$ 이고 나머지엔 $0$ 인 함수다. 이러한 함수를 사용하는 의도는 업크로싱이 일어나고 있는 부분만 남기고 그 외에 관심 없는 부분들은 $0$ 으로 곱해 없애기 위함이다. 수식적으로는 다음과 같이 정의된 지시 함수다.
$$
\begin{align*}
\chi_{i} =& \mathbb{1}_{ \bigcup J_{m} }
\\ =& \begin{cases} 0 &, i \in J_{1} \cup \cdots \cup J_{m}
\\ 1 &, \text{otherwise} \end{cases}
\end{align*}
$$
다음의 그림에서 이들을 시각적으로 확인해보자.
- [2]: $E \beta_{N} (a,b)$ 를 정확하게 구할 수는 없지만 그 상한을 계산할 수 있다는 것은 꽤 좋다. 여기서 주목할만한 점은 모든 경우를 관측하는 게 아니라 가장 마지막이 되는 $E X_{N}^{+}$ 만 계산하면 된다는 것이다.
증명
[1]
Part 1. $(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) = (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m}) $
$\chi_{i}$ 는 정의에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \begin{align*} \chi_{i} =& \mathbb{1}_{\bigcup J_{m}} \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (a,b) } \mathbb{1}_{J_{m}} \\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (a,b) } \mathbb{1}_{(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m})} \end{align*} $$ 따라서 $(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1}$ 인지 확인하면 된다. 교집합으로 풀어헤쳐보면 $$ (\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) = (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m}) $$
Part 2. $(i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1}$
$\tau_{k}$ 의 정의에서 $k = 2m$, 즉 짝수인 경우는 $X_{n}$ 이 $b$ 위로 벗어난 순간을 나타낸다. 그런데 업크로싱이 일어나려면 $X_{n}$ 이 $a$ 아래에 있다가 $b$ 위로 가야하므로, $X_{n}$ 이 $a$ 밑으로 ‘돌아가는 시간’이 한 스텝 이상 소요된다. 따라서 $\chi_{i-1} = 1$ 이고 $X_{i-1} \ge b$ 면 한 스텝 다음에는 보나마나 $x_{i} = 0$ 이어야만한다. 이는 우리가 실제로 $i-1$ 까지만 관측해서 $\mathcal{F}_{i-1}$ 만큼의 정보만 가지고 있음에도 불구하고 $\chi_{i}$ 를 확정지은 것이나 다름 없다. 따라서 $(i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1}$ 이다.
Part 3. $(\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1}$
시그마 필드 $\mathcal{F}_{i-1}$ 의 정의에 따라 $$ \begin{align*} & (i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (i \le \tau_{2m} )^{c} \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \end{align*} $$
Part 4. $(\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1}$
시그마 필드 $\mathcal{F}_{i-1}$ 의 정의에 따라 $$ \begin{align*} & (\tau_{2m-1} < i ) \in \mathcal{F}_{i-1} \land (i \le \tau_{2m} ) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i ) \cap ( i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1} \\ \implies& (\tau_{2m-1} < i \le \tau_{2m}) \in \mathcal{F}_{i-1} \end{align*} $$
■
[2]
$$ \begin{align*} \beta_{N} (a,b) =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} \right\} \text{ of interval } [a,b] \\ =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ X_{n} - a \right\} \text{ of interval } [0,b-a] \\ =& \text{A number of upcrossing of } \left\{ ( X_{n} - a )^{+} \right\} \text{ of interval } [0,b-a] \end{align*} $$ 이므로 $Y_{n}:= ( X_{n} - a )^{+}$ 에 대해 다음 부등식을 증명하면 일반성을 잃지 않고 $\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}$ 가 성립한다. $$ E \beta_{N} (0,b) \le {{ E Y_{N}} \over { b }} $$
Part 1. $E \left( Y_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \ge Y_{n}$
위 그림을 보면 $f(x) = (x - a)^{+}$ 가 컨벡스 함수고 감소하지 않는 함수임은 쉽게 확인할 수 있다. 그러면 조건부 옌센 부등식에 따라 $$ \begin{align*} E \left( Y_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) =& E \left( ( X_{n+1} - a )^{+} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ \ge& \left( E \left( X_{n+1} - a | \mathcal{F}_{n} \right) \right)^{+} \\ \ge& \left( X_{n} - a \right)^{+} \\ =& Y_{n} \end{align*} $$
Part 2. $\displaystyle b E \beta_{N} (0,b) \le E Y_{N}$
구간 $[0,b]$ 의 길이 $b$ 가 어떠하든 $\tau_{k}$ 의 정의에서 $\tau_{2m}$ 은 $Y_{k}$ 가 $b$ 위로 벗어난 시점을 의미하므로 $Y_{\tau_{2m}} \ge b$ 이고 $\tau_{2m-1}$ 은 $Y_{k}$ 가 $0$ 아래로 벗어난 시점을 의미하므로 $Y_{\tau_{2m}} \le 0$ 이다. 그렇다면 $m$ 번째 업크로싱에서 $ Y_{k}$ 이 증가한 양은 $Y_{2m} - Y_{2m-1} \ge b$ 이고, 이는 업크로싱이 $\beta_{N} [0,b]$ 번 일어날 때마다 항상 성립한다. 따라서 $b \beta_{N} [0,b]$ 은 이 각각의 증가한 양보다 작거나 같다. 이를 수식으로 나타내면
$$
\begin{align*}
b \beta_{N} (0,b) \le & \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \left( Y_{\tau_{2m}} - Y_{\tau_{2m-1}} \right)
\\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \left[ \left( Y_{\tau_{2m}} - Y_{\tau_{2m}-1} \right) + \left( Y_{\tau_{2m}-1} - Y_{\tau_{2m}-2} \right) + \cdots + \left( Y_{\tau_{2m-1}+1} - Y_{\tau_{2m-1}} \right) \right]
\\ =& \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \sum_{i \in J_{m}} \left( Y_{i} - Y_{i-1} \right)
\end{align*}
$$
인덱스가 $\beta_{N} (0,b)$ 으로 세어지는 게 마음에 안 들기 때문에 $i=1 , \cdots , N$ 전체를 보는 대신 업크로싱이 일어나는 중일 때는 $1$ 을 곱하고 업크로싱이 일어나는 중이 아닐 땐 $0$ 을 곱하는 $\chi_{i}$ 를 사용한다. 그러면 위의 수식은 다음과 같이 간단하게 축약된다.
$$
b \beta_{N} (0,b) \le \sum_{m=1}^{\beta_{N} (0,b)} \sum_{i \in J_{m}} \left( Y_{i} - Y_{i-1} \right) = \sum_{i=1}^{N} ( Y_{i} - Y_{i-1}) \chi_{i}
$$
Part 3.
- [3]: $X$ 가 $\mathcal{F}$-가측이면 $E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}$
- [11]: 모든 시그마 필드 $\mathcal{G}$ 에 대해 $E \left[ E ( X | \mathcal{G} ) \right] = E(X)$ 이므로
기대값을 취하면 [11] 에 따라 조건부 기대값 $E \left[ \cdot | \mathcal{F}_{i-1} \right]$ 에 대해 $$ \begin{align*} b E \beta_{N} (0,b) \le & \sum_{i=1}^{N} E ( Y_{i} - Y_{i-1}) \chi_{i} \\ &\color{red}{=}& \sum_{i=1}^{N} E \left[ E \left[ ( Y_{i} - Y_{i-1}) \chi_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] \right] \end{align*} $$
조건부 기대값의 스무딩 성질: $X$ 가 $\mathcal{G}$-가측이면 $$E(XY | \mathcal{G}) = X E (Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.}$$
[1]에 따라 $\chi_{i}$ 는 $\mathcal{F}_{i-1}$-가측이고 스무딩 성질과 마틴게일의 정의에서 $Y_{i-1}$ 도 $\mathcal{F}_{i-1}$-가측이이므로 [3]에 따라 $$ \begin{align*} b E \beta_{N} (0,b) \le & \sum_{i=1}^{N} E \left[ E \left[ ( Y_{i} - Y_{i-1}) \chi_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] \right] \\ &\color{blue}{\le}& \sum_{i=1}^{N} E \left[ \chi_{i} E \left[ ( Y_{i} - Y_{i-1}) | \mathcal{F}_{i-1} \right] \right] \\ =& \sum_{i=1}^{N} E \left[ \chi_{i} E \left[ Y_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] - \chi_{i} E \left[ Y_{i-1} | \mathcal{F}_{i-1} \right] \right] \\ &\color{red}{=}& \sum_{i=1}^{N} E \left[ \chi_{i} E \left[ Y_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] - \chi_{i} Y_{i-1} \right] \end{align*} $$ 가정에서 $X_{n}$ 은 서브 마틴게일이었으므로 $Y_{n} = ( X_{n} - a )^{+}$ 역시 서브 마틴게일이 되어 $E \left[ Y_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] - Y_{i-1} \ge 0$ 이다. 그러면 $\chi_{i} = 0$ 인 인덱스를 모두 탈락시키고 $\chi_{i} = 1$ 인 부분만 남김으로써 다음의 부등식이 성립한다. $$ \begin{align*} b E \beta_{N} (0,b) \le & \sum_{i=1}^{N} E \chi_{i} \left[ E \left[ Y_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] - Y_{i-1} \right] \\ =& \sum_{i=1}^{N} \left[ E E \left[ Y_{i} | \mathcal{F}_{i-1} \right] - E Y_{i-1} \right] \\ =& \sum_{i=1}^{N} \left[ E Y_{i} - E Y_{i-1} \right] \\ =& E Y_{N} - E Y_{0} \end{align*} $$ 마지막으로 $Y_{n} = ( X_{n} - a )^{+}$ 이었으므로 $$ E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }} $$
■