둡의 최대 부등식 증명
정리
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 서브 마틴 게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 주어져 있다고 하자.
어떤 $N \in \mathbb{N}$ 과 $p>1$ 에 대해 $X_{n} \ge 0 (n \le N)$, $E X_{N}^{p} < \infty$ 이면 $$ E \left( \max_{n \le N} X_{n}^{p} \right) \le \left( {{ p } \over { p-1 }} \right)^{p} E X_{N}^{p} \text{ a.s.} $$
설명
수식의 모양은 $\displaystyle \max_{n \le N} \cdot_{n} ^{p}$ 으로 말미암아 생기는 $\displaystyle \left( {{ p } \over { p-1 }} \right)^{p}$ 을 밖으로 빼내고 그 상한을 계산하는 것으로 볼 수 있다. $\displaystyle \left( {{ p } \over { p-1 }} \right)>1$ 이기 때문에 $p$ 가 너무 크면 부등식으로서 가치가 떨어지며, 마지막 수 $N$ 이 커도 된다는 것이 중요하다. 이론을 넘어 통계학에 실전적으로 응용할 땐 이 $N$ 을 제법 크게 잡아도 되기 때문에 $N$ 이 한정되어 있다는 것에 특별히 신경 쓰지는 않는다.
증명
전략: 우선 상수 $L$ 에 대해 $\displaystyle \left( L \land \max_{n \le N} X_{n} ^{p} \right)$ 을 잡아 $L$ 을 기준으로 값을 잘라내서 수식 전개를 한다. 여기서 $\land$ 은 두 함수 $f,g$ 에 대해 $\displaystyle (f \land g) (x):= \min \left\{ f(x) , g(x) \right\}$ 를 의미한다. 여러가지 트릭을 통해 마음에 드는 식을 얻은 뒤 $L$ 을 무한대로 보내면 결국 $\displaystyle \infty \land \max_{n \le N} X_{n} ^{p} = \max_{n \le N} X_{n} ^{p}$ 만 남게 될 것이다.
Part 1.
$\displaystyle Y:= \max_{n \le N} X_{n}$ 이라 두고 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $L_{n+1} > L_{n}$ 을 만족하는 증가 수열 $\left\{ L_{n} \right\}$ 을 생각해보자.
$$ EX = \int_{0}^{\infty} P(X>t) dt $$
$t:= \lambda^{p}$ 라고 두면 기대값의 다른 표현에 따라 $$ \begin{align*} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] =& \int_{0}^{\infty} P \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} > t \right] dt \\ =& \int_{0}^{\infty} P \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} > \lambda^{p} \right] p \lambda^{p-1} d \lambda \\ =& \int_{0}^{\infty} P \left( Y \land L_{n} > \lambda \right) p \lambda^{p-1} d \lambda \\ =& \int_{0}^{L_{n}} P \left( Y \land L_{n} > \lambda \right) p \lambda^{p-1} d \lambda \end{align*} $$ 여기서 적분구간을 $[0,\infty]$ 에서 $[0,L_{n}]$ 으로 줄여도 되는 이유는 어차피 $0 \le \lambda \le L_{n}$ 이면 $P \left( Y \land L_{n} > \lambda \right)$ 을 다루고 있어서 $\infty$ 까지 생각할 필요가 없기 때문이다. 한편 증명의 막바지에 $L_{n}$ 을 무한대로 보낼 것이기 때문에 $L_{n} < \lambda $ 인 경우는 더더욱 생각할 필요가 없다.
Part 2.
$\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n}) \right\}$ 이 서브 마틴게일이면 모든 $\lambda > 0$ 에 대해 $$ \lambda P \left( \max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda \right) \le \int_{(\max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda)} X_{N} dP $$
$0 \le \lambda \le L_{n}$ 이면 어차피 $Y \ge L_{n}$ 이고 서브 마틴게일에 대한 부등식 [3]에 따라 $\displaystyle P \left( Y \ge \lambda \right) \le \int_{(Y \ge \lambda)} X_{N} dP$ 이므로 $$ \begin{align*} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le & \int_{0}^{L_{n}} P \left( Y \land L_{n} > \lambda \right) p \lambda^{p-1} d \lambda \\ \le & \int_{0}^{L_{n}} P \left( Y \ge \lambda \right) p \lambda^{p-1} d \lambda \\ \le & \int_{0}^{L_{n}} {{ 1 } \over { \lambda }} \int_{(Y \ge \lambda)} X_{N} dP p \lambda^{p-1} d \lambda \\ \le & p \int_{0}^{L_{n}} \int_{(Y \ge \lambda)} X_{N} \lambda^{p-2} dP d \lambda \end{align*} $$
Part 3.
푸비니 정리에 따라 $$ \begin{align*} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le & p \int_{0}^{L_{n}} \int_{(Y \ge \lambda)} X_{N} \lambda^{p-2} dP d \lambda \\ \le & p \int_{\Omega} \int_{0}^{ Y \land L_{n}} X_{N} \lambda^{p-2} d \lambda dP \\ =& p \int_{\Omega} X_{N} \int_{0}^{ Y \land L_{n}} \lambda^{p-2} d \lambda dP \\ =& p \int_{\Omega} X_{N} {{ 1 } \over { p-1 }} \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} dP \\ =& {{ p } \over { p-1 }} \int_{\Omega} X_{N} \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} dP \\ =& {{ p } \over { p-1 }} E \left[ X_{N} \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} \right] \end{align*} $$
횔더 부등식: $p>1$ 에 대해 $\displaystyle {{1} \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1$ 이고 $f \in \mathcal{L}^{p} (E) $ , $g \in \mathcal{L}^{q} (E)$ 면 $fg \in \mathcal{L}^{1} (E)$ 그리고 $| fg |_{1} \le | f |_{p} | g |_{q}$
$\displaystyle q: = {{ p } \over { p-1 }}$ 이라고 두면 $q (p-1) = p$ 이고, 횔더 부등식에 따라 $$ \begin{align*} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le & {{ p } \over { p-1 }} E \left[ X_{N} \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} \right] \\ \le & {{ p } \over { p-1 }} \left\| X_{N} \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} \right\|_{1} \\ \le & q \left\| X_{N} \right\|_{p} \left\| \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} \right\|_{q} \\ \le & q \left[ E X_{N}^{p} \right]^{1/p} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{(p-1) \cdot q} \right]^{1/q} \\ \le & q \left[ E X_{N}^{p} \right]^{1/p} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right]^{1/q} \end{align*} $$ 양변을 $\displaystyle E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right]^{1/q}$ 로 나누면 $$ E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right]^{1-1/q} \le q \left[ E X_{N}^{p} \right]^{1/p} $$ 양변에 $p$ 승을 취하면 $1 - 1/q = 1 - (p-1)/p = 1/p$ 이므로 $$ E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le q^{p} \left[ E X_{N}^{p} \right] $$ 양변에 극한을 취하면 $$ \lim_{n \to \infty} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le \lim_{n \to \infty} q^{p} \left[ E X_{N}^{p} \right] $$ $n \to \infty$ 일 때 $Y \land L_{n} \nearrow Y$ 이므로 단조 수렴 정리에 따라 $$ E \lim_{n \to \infty} \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le q^{p} \left[ E X_{N}^{p} \right] $$ 식을 정리하면 $$ E Y^{p} \le q^{p} \left[ E X_{N}^{p} \right] $$
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