집합족과 첨수
정의
- 원소가 집합인 집합을 패밀리family라고 한다.
- 패밀리의 원소를 멤버member라고 한다.
- 하나의 집합 $\Gamma$ 의 각 $\gamma \in \Gamma$ 에 집합 $A_{\gamma}$ 가 대응할 때 $\gamma$ 를 인덱스, $\Gamma$ 를 인덱스 집합, $\left\{ A_{\gamma} : \gamma \in \Gamma \right\}$ 를 인덱스 패밀리라고 한다.
설명
패밀리는 본디 ‘집합족’으로 순화하도록 되어있으나, 이러한 표현은 ‘집합의 집합’이라는 아주 불편한 단어를 회피하기 위한 것일 뿐 여전히 와닿지도 않고 불편하다. 애초에 집합을 원소로 갖는 집합이라는 개념을 표현하기 위해 굳이 새 단어까지 만드는 것은 이상하다. 그 말인즉슨 패밀리란 순전히 편의를 위해 도입된 단어라는 것이다.
예로써 다음의 패밀리를 생각해보자: $$ \mathcal{F}=\left\{\left\{ 1 \right\} , \mathbb{R} , \mathbb{Q}, \emptyset , \mathbb{R} \right\} $$ $\mathcal{F}$ 는 그 원소가 모두 집합이므로 패밀리라 부를 수 있다. 주목할만한 점은 $\mathbb{R}$ 이 중복으로 쓰였다는 것이다. 이러한 표기에서 패밀리란 단순한 집합의 집합이 아니거니와 엄밀한 의미에서 집합의 집합도 아니라는 점을 알아야한다. 오로지, 오로지 편의다. 그런 의미에서 집합족集合族의 족은 Family에서 온 가족家族이나 족속族屬의 족族밖에 가져오지 못했으며, 영어 표현에서 말하고자 하는 바를 전혀 살리지 못한다. 심지어 멤버는 ‘구성원’으로 순화하는데, 이것은 아무리 봐도 편한 표현이 아니므로 본 블로그에서는 패밀리와 멤버를 그대로 사용한다.
마찬가지로 인덱스는 ‘첨수’로 순화하게 되어있으나 이것은 과하다. 위에서 예시로 본 $\mathcal{F}$ 에 대해 인덱스 패밀리를 구성해보자. 다행스럽게도 유한집합이므로, $\Gamma = \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$ 에 대해 $$ A_{1} = \left\{ 1 \right\} \\ A_{2} = \mathbb{R} \\ A_{3} = \mathbb{Q} \\ A_{4} = \emptyset \\ A_{5} = \mathbb{R} $$ 라고 두면 $\mathcal{F} = \left\{ A_{\gamma} : \gamma \in \Gamma \right\}$ 를 얻는다. 여기서 $A_{2} = \mathbb{R}$ 이면서 $A_{5} = \mathbb{R}$ 이라는 것에 주목하라. 중복을 허용한 것은 집합론의 근간을 흔들기 위해서가 아니라, 그냥 표현 상 편하게 쓰기 위함임을 명심하자. 마찬가지의 이유로 패밀리는 그냥 컬렉션collection이라고도 불리운다. 따지고 들자면 영문으로 집합을 정의할 때 모임collection이라는 표현이 쓰이기 때문에 의미가 순환되지만, 앞서 말했듯 그냥 편하게 말하는 것이니까 너무 깊게 생각하지 말고 해당 교재의 컨벤션을 따르면 된다.
한편 이러한 인덱스는 딱히 위와 같이 순서를 지키거나 구체적으로 번호가 매겨져있을 필요도 없다. 아예 $\Gamma = \mathbb{R}$ 라고 두고 $A_{\gamma}$ 가 $k \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $\gamma$ 를 포함하는 구간 $[k , k+1)$ 이라고 생각해보자. 그러면 $\gamma \in \mathbb{R}$ 이므로 $A_{\pi} = [3,4)$, $A_{\sqrt{10}} = [3,4)$ 와 같은 모든 $\gamma \in \Gamma$ 에 대해 대응되는 $A_{\gamma}$ 를 찾지 못할 이유가 없다. 이렇게 변태 같은 구성이 뭐 필요할까 싶겠지만 당장 위상수학만 해도 이러한 집합을 숨 쉬듯이 사용하게 된다.
임의의 패밀리 $\mathcal{F}$ 에 대해 다음과 같은 표현들을 사용한다.
- 합집합: $$ \bigcup \mathcal{F} = \bigcup_{A \in \mathcal{F}} \left\{ x \in U : \exists A \in \mathcal{F} , x \in A \right\} $$
- 교집합: $$ \bigcap \mathcal{F} = \bigcap_{A \in \mathcal{F}} \left\{ x \in U : \forall A \in \mathcal{F} , x \in A \right\} $$
기초 성질
$\left\{ A_{\gamma} : \gamma \in \Gamma \right\}$ 에 대해 다음이 성립한다.
- [1] 공진리의 집합 꼴: 전체집합 $U$ 에 대해 $$ \bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} = \emptyset \\ \bigcap_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} = U $$
- [2] 드 모르간의 정리의 일반화: $$ \left( \bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} \right)^{c} = \bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma}^{c} \\ \left( \bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} \right)^{c} = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma}^{c} $$
- [3] 분배 법칙: 집합 $B$ 에 대해 $$ \left( \bigcup_{ \gamma \in \Gamma } A_{\gamma} \right) \cap B = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} \left( A_{\gamma} \cap B \right) \\ \left( \bigcap_{ \gamma \in \Gamma } A_{\gamma} \right) \cup B = \bigcap_{\gamma \in \Gamma} \left( A_{\gamma} \cup B \right) $$