마틴게일의 정의
정의
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 이 주어져 있다고 하자.
- $\mathcal{F}$ 의 서브 시그마 필드의 시퀀스 $\left\{ \mathcal{F}_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 다음을 만족하면 필트레이션filtration이라 부른다. $$ \forall n \in \mathbb{N}, \mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{n+1} $$
- 필트레이션 $\left\{ \mathcal{F}_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 주어져 있을 때 르벡 적분 가능한 $\mathcal{F}_{n}$-가측 확률 변수 $X_{n}$ 의 시퀀스 $\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 이루는 순서쌍의 시퀀스 $\left\{ (X_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\}$ 이 다음을 만족하면 마틴게일이라 한다. $$ \forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n} $$
- $\mathcal{F}_{n}$ 가 $\mathcal{F}$ 의 서브 시그마 필드라는 것은 둘 다 $\Omega$ 의 시그마 필드이되, $\mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}$ 임을 의미한다.
- $X_{n}$ 이 $\mathcal{F}_{n}$-가측 함수라는 것은 모든 보렐 셋 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 에 대해 $X_{n}^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{n}$ 라는 의미다.
설명
참고로 다음을 각각 서브 마틴게일 , 슈퍼 마틴게일이라 한다. 부등호는 우변이 작아지면 서브, 우변이 커지면 슈퍼로 외우는 게 덜 헷갈릴 것이다. $$ \forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \ge X_{n} \\ \forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \le X_{n} $$ 물론 서브 마틴게일이면서 슈퍼 마틴게일인 것은 마틴게일인 것과 동치다. 그래서 서브 마틴게일이든 슈퍼 마틴게일에 대해서 성립하는 정리가 있다면 마틴게일에도 그대로 적용할 수 있다.
마틴게일을 직관적으로 이해하는 것은 시그마 필드를 사건의 집합, ‘정보’로 생각하는 것에서 시작된다:
- 필트레이션: $\forall n \in \mathbb{N}, \mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{n+1}$, 그러니까 시그마 필드가 더 크다는 말은 그만큼 더 많은 정보가 있다는 의미다. 마틴게일의 정의에서 프로세스 $X_{n}$ 이 $\mathcal{F}_{n}$-가측이라는 것은 실제 데이터 $x_{n}$ 이 관측됨에 따라 시그마 필드 $\mathcal{F}_{n}$ 도 넓어지며 $n$ 번째까지의 모든 정보는 획득했다고 보아도 무방하다.
- 마틴게일: $\forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n}$ 이란 곧 $n$ 번째까지의 정보 $\mathcal{F}_{n}$ 를 알 때 그 다음 상황인 $X_{n+1}$ 역시 $X_{n}$ 과 비슷할 것으로 상정하는 것을 의미한다. $X_{n+1}$ 의 기대값이 이제까지 얻어놓은 $\mathcal{F}_{n}$ 와 아무 상관없이 구해질거라면 이러한 확률 과정은 백색 잡음이나 다름 없고 통계적 분석의 대상이 되지 못한다. 고로, 마틴게일의 직관적인 정의는 ‘우리가 어떤 유리한 정보를 가져서 수학, 통계적으로 더 좋은 결과를 알 수 있는 확률 과정‘이라고 할 수 있다.
유래
프랑스의 한 마을이었던 ‘마르티그’에서는 소위 말하는 ‘묻고 따블 전략’이 유행했었다고 한다. 한 판을 지면 그 손실을 만회하기 위해 더 큰 베팅을 반복하는 방식인데, 심리적인 측면은 둘째 치고 이게 과연 현명한 방법인가 하는 부분에 대해서는 고민을 해 봐야 한다. 수학적으로 보았을 때 이러한 전략의 본질은 $$ E \left( X_{n+1} | X_{1} , \cdots , X_{n} \right) = X_{n+1} $$ 이라는 수식, 다시 말해 마틴게일로 요약될 수 있다. ‘지금까지 계속 졌으니까 이번엔 이기겠지’라는 도박사의 오류를 지적하며, 왜 마틴게일 베팅이 무의미한지를 설명한다.
예시
(1)
$\phi = 1$ 인 자기 회귀 과정 $AR(1)$ $X_{n+1} = X_{n} + \varepsilon_{n}$ 을 생각해보자. 필트레이션이 주어져있다면 $X_{n}$ 에 대한 모든 정보는 모두 알고 있으므로 조건부 기대값의 성질에 따라 $$ \begin{align*} E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) =& E \left( X_{n} + \varepsilon_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ =& E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) + E \left( \varepsilon_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ =& X_{n} + E \left( \varepsilon_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ =& X_{n} + E ( \varepsilon_{n} ) \\ =& X_{n} \end{align*} $$ 이므로 $\left\{ (X_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\}$ 는 마틴게일이 된다.
(2)
$\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 서로 독립이고 $E(X_{n}) = 0$ 이고 $\displaystyle S_{n}:= \sum_{i =1}^{n} X_{i}$ 라고 하자. 그러면 $$ \begin{align*} E(S_{n+1} | \mathcal{F}_{n} ) =& S_{n} + E( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} ) \\ =& S_{n} + E( X_{n+1} ) \\ =& S_{n} + 0 \end{align*} $$ 이므로 $\left\{ (S_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\}$ 는 마틴게일이 된다.
한편 마틴게일과 컨벡스 함수 $\phi$ 가 주어지면 위와 같이 서브 마틴게일을 만들어낼 수 있다.
정리
마틴게일 $\left\{ (X_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\}$ 과 컨벡스 함수 $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 에 대해 $( \phi (X_{n}) , \mathcal{F}_{n} )$ 는 서브 마틴게일이다.
증명
조건부 옌센 부등식: 확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 서브 시그마 필드 $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ 가 주어져있다고 하고 $X$, 가 확률 변수라고 하자.컨벡스 함수 $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 와 $\phi (X) \in \mathcal{L}^{1} ( \Omega ) $에 대해 $$ \phi \left( E \left( X | \mathcal{G} \right) \right) \le E \left( \phi (X) | \mathcal{G} \right) $$
조건부 옌센 부등식에 따라 $$ E \left( \phi (X_{n+1}) | \mathcal{F}_{n} \right) \ge \phi \left( E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \right) = \phi ( X_{n} ) $$
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따름정리
이에 대한 따름정리로써 $p \ge 1$ 에 대해 $\phi (x) = | x |^{p}$ 와 같이 두면 $\left\{ |X_{n}|^p , \mathcal{F}_{n} \right\}$ 는 항상 서브 마틴게일이 됨을 알 수 있다.
같이보기
여러가지 필트레이션
$$ A_{1} \subset A_{2} \subset \cdots \subset A_{n} \subset \cdots $$ 보편적으로 수학 전반에서는 위와 같이 형식적으로 네스티드 시퀀스nested Sequence를 이루는 구조를 가졌을 때 필트레이션filtration이라는 표현을 사용한다.