📂집합론

외연 공리

공리 ¹

$$ \forall A \forall B ( \forall x ( x \in A \iff x \in B) ) $$ 임의의 두 집합 $A$, $B$ 에 속한 원소가 같으면 두 집합이 같다고 하고 $A = B$ 와 같이 나타낸다.

설명

한편 $A$ 와 $B$ 가 같지 않으면 $A \ne B$ 와 같이 나타낸다.

두 집합의 같음은 그 자체로 공리이자 정의다. Extensionality는 확장이 아니라 외연外延을 의미하는 것으로, 집합은 ‘어떠한 집합’과 같은 모호한 설명이 아닌 겉으로 보이는 원소의 연관성만으로 구분하겠다는 것이다. 원소의 개념이 ‘우리의 직관 또는 사고의 대상으로써 서로 뚜렷이 구분되는 객체’라는 점을 생각해보면 이러한 접근은 타당하다고 할 수 있다.

더 쉽게 말해, 외연 공리는 ‘원소의 본질’ 따위를 생각하지 않는다는 것이다. 우리의 직관으로는 $a$ 든 $A$ 든 똑같은 문자인데 대소만 다를 뿐이지만, 그런 건 어찌되든 $a=A$ 라 하면 같은 것이고 $a \ne A$ 라 하면 다른 것으로 보겠다는 말이다.

이러한 ‘같음’의 정의에서 집합의 원소는 순서나 중복을 가지지 않는다. 예컨대 다음의 등식들이 성립한다: $$ \left\{ 9, 6, 0, 1, 2, 5 \right\} = \left\{ 0, 1, 2, 5, 6 ,9 \right\} $$

$$ \left\{ y, y, x, y \right\} = \left\{ y , x \right\} $$

$$ \left\{ 1, 5, 0, 4, 2, 1 \right\} = \left\{ 0, 1, 2, 4, 5 \right\} $$

집합의 포함관계와 더불어 다음의 유용한 정리를 소개한다. 이 성질은 수학 전반에서 두루 쓰이지만, 특히 추상대수학이나 위상수학 등의 순수 수학에서는 거의 숨쉬듯이 사용할 수 밖에 없는 정리다. 외연 공리 자체가 너무 상식적이다보니 우습게 보는 경우가 종종 있는데, 정말 중요한 기본기니까 그러지 말자.

정리

$$ A = B \iff A \subset B \land B \subset A $$

증명

$$ \begin{align*} A = B \iff & \forall x ( (x \in A) \iff (x \in B)) \\ \iff & \forall x \left( ( x \in A \implies x \in B) \land ( x \in B \implies x \in A) \right) \\ \iff &A \subset B \land B \subset A \end{align*} $$

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