프레셰 도함수

정의

두 바나흐 공간 $X, Y$와 열린 집합 $\Omega \subset X$가 주어졌다고 하자. 그러면 함수 $F : \Omega \to Y$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 유계 선형 사상 $L : X \to Y$가 존재하면 $F$가 $x\in \Omega$에서 프레셰 미분가능^{Frechet differentiable}하다고 한다.

$$ \lim \limits_{ \left\| y \right \| \to 0} \frac{\| F(x+y) -F(x)-Ly \|}{\|y\|}=0 $$

이때 이러한 선형 변환 $L$은 유일하고 $L$을 $x$에서 $F$의 프레셰 도함수^{Frechet derivative of $F$ at $x$}라고 하고 아래와 같이 표기한다.

$$ L = DF(x) = F^{\prime}(x) $$

설명

프레셰 도함수는 전 도함수^{total derivative}를 바나흐 공간으로 일반화한 것이다.

놈 공간을 다루는 것이 자명할 때는 프레쳇을 생략하고 미분 가능, 도함수라고 간단히 말한다. 또한 $y \to 0 \implies \|y\| \to 0$이므로 아래와 같이 표현해도 무관하다.

$$ \lim \limits_{ y \to 0} \frac{\| F(x+y) -F(x)-Ly \|}{\|y\|}=0 $$