📂측도론

한 분해 정리

정리¹

• (a) $\nu$를 가측공간 $(X, \mathcal{E})$위에서 정의된 부호측도라고 하자. 그러면 다음을 만족하는 $\nu$에 대한 양집합 $P$와 음집합 $N$이 존재한다.

  $$P \cup N=X \quad \text{and} \quad P \cap N =\varnothing$$

  이러한 $X=P \cup N$을 $\nu$에 대한 한 분해^{Hahn decomposition}라고 한다.

• (b) $P^{\prime}, N^{\prime}$이 (a) 를 만족하는 다른 집합이라고 하자. 그러면 아래의 집합은 $\nu$에 대한 영집합이다.

  $$(P-P^{\prime}) \cup (P^{\prime}-P)=(N-N^{\prime}) \cup (N^{\prime}-N)$$

  대칭차^{symmetric difference} 기호를 사용해 다음과 같이 표기한다.

  $$P\Delta P^{\prime}=N\Delta N^{\prime}$$

설명

(a) 임의의 가측공간이 주어질 때 마다 집합 $X$를 가측공간 위에서 정의된 $\nu$에 대해서 양의 집합과 음의 집합으로 분리할 수 있다는 것이다.

(b) 위에서 말한 것과 같이 집합 $X$를 나눌 때 나누는 방법이 여러 가지로 존재하더라도 사실상 차이가 나지 않는다는 말이다. $P$와 $P^{\prime}$, $N$과 $N^{\prime}$은 항상 서로 영집합만큼만 차이가 나므로 집합의 관점에서는 서로 다를 수 있어도 측도의 관점에서는 같다.

증명

이 정리의 증명 자체는 그리 어려운 편이 아니나, 증명의 흐름이 간단하지만은 않아서 이를 미리 구체적으로 설명하고 시작하겠다. 우선 어떤 양의 집합 $P$를 정의한다. 그리고 $N$을 $N:=X-P$로 정의한다. 이때 $N$이 음의 집합이면 (a) 에 대한 증명이 끝난다. $N$이 음의 집합임을 증명하기 전에 위와 같이 정의된 $N$이 어떤 두 가지 성질을 가짐을 확인할 것이다. 그리고 최종적인 증명에는 귀류법 을 사용한다. $N$이 음의 집합이 아니라고 가정한 후 두 성질을 이용하여 모순이 생김을 보이는 것으로 증명을 완료한다.

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일반성을 잃지 않고, $\nu$가 $+\infty$값을 갖지 않는다고 가정하자. 다른 경우에는 $-\nu$에 대해서 같은 방법으로 증명하면 된다. $C$를 $\mathcal{E}$에서 모든 포지티브 셋의 컬렉션이라 하자. 그러면 가정에 의해 $\nu$는 $+\infty$값을 가지지 않으므로 아래와 같이 정의되는 $M$이 존재한다.

$$M:=\sup \limits_{P \in C } \nu (P) < \infty$$

이제 $\nu (P)=M$을 만족하는 맥시마이저 $P$가 존재한다는 것을 보일 수 있다. 아래와 같은 맥시마이징 시퀀스 $\left\{ P_{j} \right\}$를 생각하자.

$$\lim \limits_{j \rightarrow \infty} \nu (P_{j})=M$$

이 때 $P_{j}$들 사이에 아무런 포함 관계가 없으므로 아래와 같은 $\tilde{P_{j}}$를 생각하자.

$$\tilde{P_{j}} :=\bigcup \limits_{k=1}^j P_{k}$$

그러면 $\nu (P_{j}) \le \nu (\tilde{P_{j}}) \le M$이므로 $\left\{ \tilde{P_{j}} \right\}$는 맥시마이징 시퀀스이다. 또한 $\tilde{P_{1}} \subset \tilde{P_2}\subset \cdots$임은 정의에 의해 당연하다. 이제 $P$를 아래와 같이 정의하자.

$$P := \bigcup \limits_{j=1}^\infty \tilde{P_{j}}$$

그러면 다음이 성립한다.

$$\nu (P)=\lim \limits_{j\rightarrow \infty} \nu (\tilde{P_{j}})=M$$

따라서 $\nu (P)=M$을 만족하는 맥시마이저가 존재함을 보였다. 또한 $P$는 양집합들의 가산합이므로 양집합이다. 실제로 이렇게 만들어낸 $P$와 $N:=X-P$은 정리에서 말한 한 분해가 된다. $N$이 그러한 음의 집합임을 보이는 과정이 남았다.이제 $N:=X \setminus P$라고 하자. 위에서 설명했듯이 $N$이 음의 집합임을 보이면 증명이 끝난다. 우선 이러한 $N$이 아래와 같은 두 가지 성질을 가짐을 증명하겠다.

• Claim 1 $N$은 측도값이 $0$보다 큰 양의 집합을 포함하지 않는다. 다시말해 영집합이 아닌 양의 집합을 포함하지 않는다. 즉 $\nu (E)>0$이고 $E$가 양집합이면, $E \not \subset N$이다.

  이때 주의해야할 점은 양집합도, 음집합도 아닌 $E \subset N$이 존재할 수 있다는 것이다. 즉, $N$의 부분집합이 될 수 있는 것은 1. 공집합, 2. 음집합, 3. 양집합도 음집합도 아닌 집합이다.

  • 증명

    $E\subset N$이 양의 집합이고 $\nu (E) >0$이라고 하자. 그러면 $N$의 정의에 의해 $E$와 $P$는 서로소집합이다. 따라서 다음이 성립한다.

    $$\nu (P \cup E)=\nu (P)+\nu (E)$$

    그런데 $\nu (P)=M$이므로 다음이 성립한다.

    $$\nu (P \cup E)=\nu (P)+\nu (E)>M$$

    그런데 이는 $M=\sup \nu (F)\ \forall F\in \mathcal{E}$라는 가정에 모순이다. 따라서 양의 집합이면서 $\nu (E)>0$인 $E \subset N$는 없다.

• Claim 2 만약 $A \subset N$이고 $\nu (A)>0$이면, $\nu (B) > \nu (A)$를 만족하는 $B \subset A$가 존재한다.

  • 증명

    $A \subset N$이고 $\nu (A)>0$이라고 하자. 그러면 Claim 1 에 의해서 $A$는 양의 집합이 아니다. 그러면 공집합도 아니고 양집합도 아니다. 따라서 다음을 만족하는 $C$가 존재한다².

    $$C \subset A,\ \nu (C) <0$$

    이제 $B:=A-C$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

    $$\nu (A)=\nu (B)+\nu (C) < \nu (B)$$

이제 $N$가 음의 집합이 아니라고 가정하자. 위의 두 성질을 이용하여 모순이 생김을 보이면 $N$가 음의 집합임을 증명한 것이다.

• Part 1.

  $\left\{ A_{j} \right\}$를 $N$의 부분집합의 수열이라 하자. $\left\{ n_{j} \right\}$를 자연수의 수열이라고 하자. $N$이 음집합이 아니라고 가정했으므로 $\nu (B) >0$인 어떤 $B \subset N$가 존재한다. 그리고 $\nu (B) > \frac{1}{n_{j}}$를 만족하는 가장 작은 $n_{j}$를 $n_{1}$이라고 하고, $n_{1}$에 대해서 이를 만족하는 $B$를 $A_{1}$이라고 하자. $\nu (B)=\nu (A_{1})>0$이므로 위에서 $N$에 대해서 했던 과정을 $A_{1}$에 대해서 똑같이 적용할 수 있다.

• Part 2

  다시 $\nu (B)>0$인 어떤 $B\subset A_{1}$가 존재하고 Claim 2 에 의해서 $\nu (B) > \nu (A_{1})$이다. 따라서 $\nu (B) > \nu (A_{1})+\frac{1}{n}$을 만족하는 자연수 $n$이 존재한다. 이 중 제일 작은 자연수를 $n_2$라고 하고, 이러한 $B$를 $A_2$라고 하자.

• Part 3

  같은 과정을 반복하면 $n_{j}$는 $\nu (B)>0$인 어떤 $B \subset A_{j-1}$에 대해서 $\nu (B)>\nu (A_{j-1}) + \dfrac{1}{n_{j}}$를 만족하는 가장 작은 자연수이다. 또한 그러한 $B$를 $A_{j}$라 한다.이제 $A=\bigcap \nolimits_{1}^\infty A_{j}$라고하자. $\nu$가 $+\infty$값을 가지지 않는다고 가정했고 부호 측도의 성질 $(B)$에 의해 다음이 성립한다.

  $$\begin{align*} +\infty \gt \nu (A) &= \nu \left(\bigcap \nolimits_{1}^\infty A_{j} \right) \\ &= \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \nu (A_{j}) \\ &\ge \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \left( \nu (A_{j-1}) +\frac{1}{n_{j}} \right) \\ &\ge \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \left( \nu (A_{j-2}) + \frac{1}{n_{j-1}} +\frac{1}{n_{j}} \right) \\ &\vdots \\ &\ge \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \left( \nu (A_{1}) + \frac{1}{n_{2}}+\cdots +\frac{1}{n_{j}} \right) \\ &\ge \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n_{1}}+ \frac{1}{n_{2}}+\cdots +\frac{1}{n_{j}} \right) \\ &= \sum \limits_{j=1}^\infty \frac{1}{n_{j}} \end{align*}$$

  급수가 유한하므로 극한은 $0$이다.

  $$\lim \limits_{j\rightarrow \infty} \frac{1}{n_{j}} =0$$

  따라서 다음을 얻는다.

  $$\begin{equation} \lim \limits_{j\rightarrow \infty} n_{j} =\infty \label{eq1} \end{equation}$$

  그런데 Part 1 에서 보았듯이 Claim 2 에 의해 어떤 자연수 $n$에 대해서 $\nu (B) > \nu (A) +\dfrac{1}{n}$을 만족하는 $B \subset A$가 존재한다. 그러면 $A$의 정의에 의해 $A \subset A_{j-1}$이고 Claim 2 에 의해 $\left\{ \nu (A_{j}) \right\}$는 증가 수열임을 알 수 있다. 따라서, $\nu (A) =\lim \limits_{j \rightarrow \infty} \nu (A_{j})$이므로, $\nu (A) > \nu (A_{j-1})$이다.

  또한 $(1)$에 의해서 충분히 큰 $j$에 대해 $n_{j} >n$이다. 그러므로 다음이 성립한다.

  $$\nu (B) > \nu (A) +\frac{1}{n}>\nu (A_{j-1}) +\frac{1}{n} > \nu (A_{j-1}) +\frac{1}{n_{j}}$$

  그런데 이는 $n_{j}$와 $A_{j}$의 정의에 대해서 모순이다. 따라서 $N$이 음의 집합이 아니라는 가정이 틀렸다는 뜻이다. 그러므로 $N$은 음의 집합이다.

  $P^{\prime}$, $N^{\prime}$을 위 정리를 만족하는 또 다른 한 분해라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

  $$P^{\prime} \cup N^{\prime} =X \quad \text{and} \quad P^{\prime}\cap N^{\prime} =\varnothing$$

  따라서 $P-P^{\prime} \subset P$, $P-P^{\prime}\subset N^{\prime}$임을 알 수 있다. 그러면 $P-P^{\prime}$는 양집합이면서 음집합인데 이를 만족하는 것은 영집합 밖에 없으므로 $P-P^{\prime}$는 $\nu-\mathrm{null}$이다. 마찬가지로 $P^{\prime}-P$, $N-N^{\prime}$, $N^{\prime}-N$에 대해서도 같은 방법으로 $\nu -\mathrm{null}$임을 보일 수 있다.

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