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라돈-니코딤 도함수 📂측도론

라돈-니코딤 도함수

정리 1

가측 공간 (Ω,F)( \Omega , \mathcal{F} ) 가 주어져 있다고 하자. 측도 μ\mu, ν\nu 가 μ(Ω)=1\mu ( \Omega ) = 1 과 모든 F∈FF \in \mathcal{F} 에 대해 0≤ν(F)≤μ(F)0 \le \nu (F) \le \mu (F) 를 만족하면 모든 F∈FF \in \mathcal{F} 에 대해 ν(F)=∫Fhdμ \nu (F) = \int_{F} h d \mu 를 만족하면서 h≥0h \ge 0 인 F\mathcal{F}-가측 함수 h:Ω→Rh : \Omega \to \mathbb{R} 가 존재한다. 이 hh 를 h:=dνdμ\displaystyle h := {{d \nu } \over {d \mu }} 와 같이 나타내고 μ\mu 에 대한 ν\nu 의 라돈-니코딤 도함수라 한다.

  • 어떤 함수 ff 가 F\mathcal{F}-가측 함수 라는 것은 모든 보렐 셋 B∈B(Ω)B \in \mathcal{B} ( \Omega ) 에 대해 f−1(B)∈Ff^{-1} (B) \in \mathcal{F} 이라는 것이다.

설명

정리의 전제에서 μ(Ω)=1\mu ( \Omega ) = 1 이라는 조건에 따라 Ω\Omega 는 확률 공간 (Ω,F,μ)( \Omega , \mathcal{F} , \mu ) 이 될 수 있다.

라돈-나코딤 도함수의 명명은 상당히 직관적이라고 할 수 있는데, 정확한 논증은 잠시 제쳐놓고 생겨먹은대로 다뤄보면 다음과 같이 전개될 수 있다. 기초 해석학에서의 미분과는 달리 형식에 개념을 끼워맞춘 것이다. ∫Fhdμ=∫Fdνdμdμ=∫Fdν=ν(F) \begin{align*} \int_{F} h d \mu =& \int_{F} {{d \nu } \over {d \mu }} d \mu \\ =& \int_{F} d \nu \\ =& \nu ( F) \end{align*}

라돈-나코딤 정리는 몇가지 조건이 더 주어져있을 때 이러한 라돈-니코딤 도함수가 유일하게 존재함을 보장한다.

증명

Part 1. hP=νμ\displaystyle h_{\mathcal{P}} = {{\nu} \over {\mu}}

파티션 P:={A1,⋯ ,Ak} \mathcal{P} := \left\{ A_{1} , \cdots , A_{k} \right\} 과 ω∈Ai\omega \in A_{i} 에 대해 hP:Ω→Rh_{\mathcal{P}} : \Omega \to \mathbb{R} 을 다음과 같이 정의하자. hP(ω)={ν(Ai)μ(Ai),μ(Ai)>00,otherwise h_{\mathcal{P}} ( \omega ) = \begin{cases} \displaystyle {{\nu (A_{i} ) } \over {\mu (A_{i} ) }} &, \mu ( A_{i} ) > 0 \\ 0 &, \text{otherwise} \end{cases} AiA_{i} 가 정해졌다면 정의에 따라 ω∈Ai\omega \in A_{i} 가 어떻게 되든 AiA_{i} 에서는 상수 함수 hP(ω)=cih_{\mathcal{P}} ( \omega ) = c_{i} 와 같이 취급할 수 있다. 이에 따라 ∫AihPdμ=∫Aiν(Ai)μ(Ai)dμ=ν(Ai)1μ(Ai)∫Aidμ=ν(Ai)1μ(Ai)μ(Ai)=ν(Ai) \begin{align*} \int_{A_{i}} h_{\mathcal{P}} d \mu =& \int_{A_{i}} {{\nu (A_{i} ) } \over {\mu (A_{i} ) }} d \mu \\ =& \nu (A_{i} ) {{1 } \over {\mu (A_{i} ) }} \int_{A_{i}} d \mu \\ =& \nu (A_{i} ) {{1 } \over {\mu (A_{i} ) }} \mu ( A_{i} ) \\ =& \nu (A_{i} ) \end{align*} 이 계산된다. 이에 대해 다음과 같은 보조 정리들을 증명하자.

  • Part 1-1.
    Ω\Omega 의 모든 P\mathcal{P} 과 모든 ω∈Ω\omega \in \Omega 에 대해 0≤hP≤10 \le h_{\mathcal{P}} \le 1모든 F∈FF \in \mathcal{F} 에 대해 0≤ν(F)≤μ(F)0 \le \nu (F) \le \mu (F) 이므로 0≤hP=ν(F)μ(F)≤1\displaystyle 0 \le h_{\mathcal{P}} = {{\nu (F)} \over {\mu (F)}} \le 1
  • Part 1-2.
    A=⨆j∈JAj  ⟹  ν(A)=∫AhPdμA = \bigsqcup_{j \in J} A_{j} \implies \nu (A) = \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \mu ⨆\bigsqcup 는 분리합집합이고 J⊂{1,⋯ ,k}J \subset \left\{ 1 , \cdots, k \right\} 는 인덱스의 집합이다. 측도의 성질에 따라 ν(A)=∑j∈Jν(Aj)=∑j∈J∫AjhPdμ=∫AhPdμ \begin{align*} \nu (A) =& \sum_{j \in J} \nu ( A_{j} ) \\ =& \sum_{j \in J} \int_{A_{j}} h_{\mathcal{P}} d \mu \\ =& \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \mu \end{align*} 한편 시그마 필드의 정의에서 Ω∈F\Omega \in \mathcal{F} 이므로 당연히 ν(Ω)=∫ΩhPdμ\displaystyle \nu ( \Omega ) = \int_{ \Omega } h_{\mathcal{P}} d \mu 가 성립한다.
  • Part 1-3.
    • Part 1-3-1. 모든 A∈P1A \in \mathcal{P}_{1} 에 대해 ∫Ah1dμ=∫Ah2dμ\displaystyle \int_{A} h_{1} d \mu = \int_{A} h_{2} d \mu 이다.
      P2\mathcal{P}_{2} 가 P1\mathcal{P}_{1} 의 리파인먼트라고 하고 편의상 hn:=hPnh_{n} := h_{\mathcal{P}_{n}} 과 같이 나타내도록 하자. 리파인먼트의 정의에 따라 모든 A∈P1A \in \mathcal{P}_{1} 에 대해 A=⨆j∈JBj\displaystyle A = \bigsqcup_{j \in J} B_{j} 를 만족시키는 Bj∈P2B_{j} \in \mathcal{P}_{2} 들이 존재한다. 따라서 ∫Ah1dμ=ν(A)=∑j∈Jν(Bj)=∑j∈J∫Bjh2dμ=∫Ah2dμ \begin{align*} \int_{A} h_{1} d \mu =& \nu (A) \\ =& \sum_{j \in J} \nu ( B_{j} ) \\ =& \sum_{j \in J} \int_{B_{j}} h_{2} d \mu \\ =& \int_{A} h_{2} d \mu \end{align*}
    • Part 1-3-2. 모든 A∈P1A \in \mathcal{P}_{1} 에 대해 ∫Ah1h2dμ=∫Ah12dμ\displaystyle \int_{A} h_{1} h_{2} d \mu = \int_{A} h_{1}^{2} d \mu 이다. ∫Ah1h2dμ=ν(A)μ(A)∫Ah2dμ=ν(A)μ(A)ν(A)=∫A[ν(A)μ(A)]2dμ=∫Ah12dμ\begin{align*} \int_{A} h_{1} h_{2} d \mu =& {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \int_{A} h_{2} d \mu \\ =& {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \nu (A ) \\ =& \int_{A} \left[ {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \right]^2 d \mu \\ =& \int_{A} h_{1}^{2} d \mu \end{align*}
  • Part 1-4.
    • Part 1-4-1. ∫A(h2−h1)2dμ=∫A[h22−h12]dμ\displaystyle \int_{A} ( h_{2} - h_{1} )^2 d \mu = \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - h_{1}^{2} \right] d \mu
      Part 1-3-2에 따라 모든 A∈P1A \in \mathcal{P}_{1} 에 대해 ∫Ah1(h2−h1)dμ=0\displaystyle \int_{A} h_{1} ( h_{2} - h_{1} ) d \mu = 0 이고, Part 1-2에 따라 ∫Ωh1(h2−h1)dμ=0\displaystyle \int_{ \Omega } h_{1} ( h_{2} - h_{1} ) d \mu = 0 역시 성립한다. 그러면 ∫A(h2−h1)2dμ=∫A(h22−2h2h1+h12)dμ=∫A[h22−2h1(h2−h1)−h12]dμ=∫A[h22−h12]dμ \begin{align*} \int_{A} ( h_{2} - h_{1} )^2 d \mu =& \int_{A} \left( h_{2}^{2} - 2 h_{2} h_{1} + h_{1}^{2} \right) d \mu \\ =& \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - 2 h_{1} (h_{2} - h_{1}) - h_{1}^{2} \right] d \mu \\ =& \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - h_{1}^{2} \right] d \mu \end{align*}
    • Part 1-4-2. ∫Ωh12dμ≤∫Ωh22dμ\displaystyle \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{2}^{2} d \mu
      ∫Ωh22dμ=∫Ωh12dμ+∫Ω(h2−h1)2dμ≥∫Ωh12dμ\begin{align*} \int_{\Omega} h_{2}^{2} d \mu =& \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu + \int_{\Omega} (h_{2} - h_{1})^{2} d \mu \\ \ge& \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu \end{align*}

Part 2. h:=lim⁡n→∞hQn\displaystyle h := \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}}

Part 1-4-2에서 P\mathcal{P} 의 리파인먼트 P′\mathcal{P} ' 에 대해 ∫ΩhP2dμ≤∫ΩhP′2dμ\displaystyle \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{P} ' }^{2} d \mu 이 성립함을 확인했다. 또한 Part 1-1에서 0≤hP≤10 \le h_{\mathcal{P}} \le 1 이고 가정에서 μ(Ω)=1\mu ( \Omega ) = 1 이었으므로 c:=sup⁡∫ΩhP2dμc := \sup \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}}^{2} d \mu 는 00 과 11 사이에 존재한다. [ NOTE: 사실 μ(Ω)≠1\mu ( \Omega ) \ne 1 이라도 μ′:=μ/μ(Ω)\mu ' := \mu / \mu ( \Omega) 와 같이 바꿔서 쓰면 된다. ] 이제 주어진 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 ∫ΩhPn2dμ>c−14n\displaystyle \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}_{n}}^{2} d \mu > c - {{1} \over {4^{n}}} 을 만족하도록하는 파티션 Pn\mathcal{P}_{n} 과 {Pi}i=1n\left\{ \mathcal{P}_{i} \right\}_{i=1}^{n} 모두의 리파인먼트가 되도록 하는 파티션 Qn\mathcal{Q}_{n} 를 생각해보자. 그러면 당연히 Qn+1\mathcal{Q}_{n+1} 은 Qn\mathcal{Q}_{n} 의 리파인먼트가 되고, 다음의 부등식을 만족시킨다. c−14n≤∫ΩhPn2dμ≤∫ΩhQn2dμ≤∫ΩhQn+12dμ≤c c - {{1} \over {4^{n}}} \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}_{n}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} d \mu \le c Part 1-4-1에 따라 제곱 2^2 이 괄호 속으로 들어갈 수 있으므로 ∫Ω(hQn+1−hQn)2dμ=∫Ω(hQn+12−hQn2)dμ<14n \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right)^{2} d \mu = \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} - h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} \right) d \mu < {{1} \over {4^{n}}}

코시-슈바르츠 부등식: f,g∈L2(E)f,g \in \mathcal{L}^{2} (E) 면 fg∈L1(E)fg \in L^{1}(E) 이고 ∥∫Efg‾dm∥≤∥fg∥1≤∥f∥2∥g∥2 \left\| \int_{E} f \overline{g} dm \right\| \le \left\| f g \right\|_{1} \le \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2}

코시-슈바르츠 부등식에서 f=∣hQn+1−hQn∣f = | h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} |, g=1g = 1 이라고 두면 모든 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 ∫Ω∣hQn+1−hQn∣dμ≤∫Ω(hQn+1−hQn)2dμ∫Ω1dμ=∫Ω(hQn+12−hQn2)dμμ(Ω)<12n⋅1 \begin{align*} \int_{\Omega} \left| h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right| d \mu \le & \sqrt{ \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right)^{2} d \mu } \sqrt{ \int_{\Omega} 1 d \mu } \\ =& \sqrt{\int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} - h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} \right) d \mu} \sqrt{ \mu ( \Omega ) } \\ <& {{1} \over {2^{n}}} \cdot 1 \end{align*}

레비의 정리: ∑k=1∞∫∣fk∣dm<∞\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm < \infty 면 ∑k=1∞fk(x)\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x) 는 거의 어디에서나 수렴하고 ∫∑k=1∞fkdm=∑k=1∞∫fkdm \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm

∑n∈N∫Ω∣hQn+1−hQn∣dμ<∞\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{\Omega} \left| h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right| d \mu < \infty 이므로 레비의 정리에 따라 ∑n∈N(hQn+1−hQn)=lim⁡n→∞hQn−hQ1 \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} - h_{\mathcal{Q}_{1}} 은 μ\mu 에 대해 거의 어디서나 수렴한다. 이제 hh 를 다음과 같이 정의하자. h:=hQ1+∑n∈N(hQn+1−hQn)=lim⁡n→∞hQn h := h_{\mathcal{Q}_{1}} + \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}}

Part 3. ν(F)=∫Fhdμ\displaystyle \nu (F) = \int_{F} h d \mu

hh 의 정의에 따라 0≤h≤10 \le h \le 1 는 F\mathcal{F}-메져러블이다. 이제 모든 F∈FF \in \mathcal{F} 에 대해 ν(F)=∫Fhdμ\displaystyle \nu (F) = \int_{F} h d \mu 임을 보이면 된다. F∈FF \in \mathcal{F} 하나를 픽스하고 Rn\mathcal{R}_{n} 를 Qn\mathcal{Q}_{n} 과 {F,Fc}\left\{ F , F^{c} \right\} 의 공통된 리파인먼트 파티션으로 정의하자. 그러면 Part 1-2에서 보인 A=⨆j∈JAj  ⟹  ν(A)=∫AhPdμ\displaystyle A = \bigsqcup_{j \in J} A_{j} \implies \nu (A) = \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \mu 에 따라 모든 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 ν(F)=∫FhRndμ=∫F(hRn−hQn)dμ+∫FhQndμ \begin{align*} \nu (F) =& \int_{F} h_{ \mathcal{R}_{n} } d \mu \\ =& \int_{F} ( h_{ \mathcal{R}_{n} } - h_{ \mathcal{Q}_{n} } )d \mu + \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu \end{align*} 이 성립한다. 한편 Rn\mathcal{R}_{n} 에 대해 Part 2에서와 마찬가지로 코시-슈바르츠 부등식을 사용하면 ∣∫ΩhRn−hQndμ∣<12n\displaystyle \left| \int_{\Omega} h_{\mathcal{R}_{n}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} d \mu \right| < {{1} \over {2^{n}}} 을 얻을 수 있으므로 ν(F)=0+lim⁡n→∞∫FhQndμ \nu (F) =0 + \lim_{n \to \infty} \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu

지배 수렴 정리: 가측집합 E∈ME \in \mathcal{M} 와 g∈L1(E)g \in \mathcal{L}^{1} (E) 에 대해 가측함수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 이 EE 의 거의 어디서나 ∣fn∣≤g|f_{n}| \le g 를 만족한다고 하자. 만약 EE 의 거의 어디서나 f=lim⁡n→∞fn\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n} 이면, f∈L1(E)f \in \mathcal{L}^{1}(E) 그리고 lim⁡n→∞∫Efn(x)dm=∫Efdm \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm

모든 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 0≤hQn≤10 \le h_{\mathcal{Q}_{n}} \le 1 이고 Part 2에서 hh 가 h:=lim⁡n→∞hQn\displaystyle h := \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} 와 같이 정의되었으므로, 지배 수렴 정리에 따라 ν(F)=lim⁡n→∞∫FhQndμ=∫Fhdμ \begin{align*} \nu (F) =& \lim_{n \to \infty} \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu \\ =& \int_{F} h d \mu \end{align*}

■

한편 위 증명의 Part 1~2에서 위와 같은 따름 정리를 얻는다.

따름정리

모든 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 Qn+1\mathcal{Q}_{n+1} 이 Qn\mathcal{Q}_{n} 의 리파인먼트면 lim⁡n→∞hQn=lim⁡n→∞νμ=dνdμ \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} = \lim_{n \to \infty} {{\nu} \over {\mu}} = {{d \nu } \over {d \mu }}

  1. Folland. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications(2nd Edition): p91. ↩︎