📂확률론

측도론으로 정의되는 확률 변수의 밀도와 누적 분포 함수

정의 ¹

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 이 주어져 있고 $m$ 이 측도라고 하자.

1. 측도 $P : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ 가 적분가능한 $f \ge 0$ 에 대해 $$A \mapsto P(A) = \int_{A} f dm$$ 의 폼을 갖추고 있으면 $P$ 가 절대 연속^{absolutely Continuous}이라 한다. 특히 이러한 $f$ 를 측도 $m$ 에 대한 $P$ 의 밀도라고 부른다.
2. 다음과 같이 정의된 $F$ 를 밀도 $f$ 에 해당하는 (누적) 분포 함수라고 한다. $$F(y) := \int_{-\infty}^{y} f(x) dx$$
3. 다음과 같이 정의된 $F_{X}$ 를 확률 변수 $X$ 의 (누적) 분포 함수라고 한다. $$F_{X} (y) := P_{X} \left( ( -\infty , y ] \right)$$
4. 모든 $y \in \mathbb{R}$ 에 대해 다음을 만족하는 $f_{X}$ 를 확률 변수 $X$ 의 밀도라고 한다. $$F_{X} (y) = \int_{-\infty}^{y} f_{X} (x) dx$$

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• 아직 측도론을 접하지 못했다면 확률 공간이라는 말은 무시해도 좋다.

설명

당연하지만 확률의 정의에 따라 $\displaystyle \int_{\Omega} f dm = P ( \Omega ) = 1$ 이다.

절대연속

$P$ 가 $\displaystyle P(A) = \int_{A} f dm$ 이라고 할 때 절대 연속이라고 하는 것은 조금만 생각해보면 그다지 이상할 것도 없는데, $P$ 에 어떠한 불연속한 점이 있어서 $P(A)$ 와 $A$ 에다가 한 점을 더한 $A \cup \left\{ a \right\}$ 에 대한 $P(A \cup \left\{ a \right\})$ 의 함숫값이 크게 다를 수 없기 때문―연속적이기 때문이다. 이는 $P$ 나 $f$ 에 상관 없이 측도 $m$ 의 성질에서 기인한 것이다. 설령 $f$ 가 불연속함수일지라도 조건을 만족시킨다면 $P$ 는 연속이 되어야만한다.

정리

분포함수의 성질 ²

분포 함수는 다음의 성질을 가진다:

• [1] Non-decreasing: $$y_{1} \le y_{2} \implies F_{X} (y_{1}) \le F_{X} ( y_{2} )$$
• [2] 양끝 극한: $$\begin{align*} \lim_{y \to \infty} F_{X} (y) =& 1 \\ \lim_{y \to -\infty} F_{X} (y) =& 0 \end{align*}$$
• [3] 우측 연속: $y \ge y_{0}$ 에 대해 $$y \to y_{0} \implies F_{X} (y) \to F_{X} (y_{0} )$$
• [4] 밀도가 정의됨에 따라 다음과 같이 유용하게 쓸 수 있는 기대값의 다른 표현을 얻는다. $$E(X) = \int_{0}^{\infty} P(X>t) dt$$

증명

[4]

$0 \le y \le t < \infty$ 그리고 푸비니 정리에 따라 $$\begin{align*} \int_{0}^{\infty} P(X>t) dt &= \int_{0}^{\infty} P_{X}( (\infty,t] ) dt \\ =& \int_{0}^{\infty} F_{X} (t) dt \\ =& \int_{0}^{\infty} \int_{t}^{\infty} f_{X} (y) dy dt \\ =& \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} f_{X} (y) dt dy \\ =& \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} dt f_{X} (y) dy \\ =& \int_{0}^{\infty} y f_{X} (y) dy \\ =& E(X) \end{align*}$$

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같이보기

• 수리통계학에서 정의됐던 확률 변수의 밀도와 누적 분포 함수